Resuelve: \(\begin{cases}x+y=120^\circ\\\sin x-\sin y=\frac12\end{cases}\)

Resolución paso a paso

Aplicamos la fórmula de diferencia de senos:

\[
\sin x-\sin y
=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)
\sin\left(\frac{x-y}{2}\right).
\]

Como \(x+y=120^\circ\):

\[
2\cos60^\circ
\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)=\frac12.
\]

Dado que \(2\cos60^\circ=1\):

\[
\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)=\frac12.
\]

Si \(x,y\) son no negativos y suman \(120^\circ\), entonces \(\frac{x-y}{2}\in[-60^\circ,60^\circ]\). En ese intervalo:

\[
\frac{x-y}{2}=30^\circ
\quad\Longrightarrow\quad
x-y=60^\circ.
\]

Resolvemos:

\[
\begin{cases}
x+y=120^\circ,\\
x-y=60^\circ.
\end{cases}
\]

Sumando ambas ecuaciones, \(2x=180^\circ\), de donde \(x=90^\circ\) e \(y=30^\circ\).

Solución:

\[
\boxed{(x,y)=(90^\circ,30^\circ)
=\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6}\right)}.
\]