Resuelve: \(\begin{cases}\sin x+\sin y=\frac{\sqrt6}{2}\\\cos x+\cos y=\frac{\sqrt2}{2}\end{cases}\)

Resolución paso a paso

Introducimos la semisuma y la semidiferencia:

\[
A=\frac{x+y}{2},
\qquad
B=\frac{x-y}{2}.
\]

Las fórmulas de suma transforman el sistema en:

\[
\begin{cases}
2\sin A\cos B=\dfrac{\sqrt6}{2},\\[2mm]
2\cos A\cos B=\dfrac{\sqrt2}{2}.
\end{cases}
\]

Dividimos la primera ecuación entre la segunda:

\[
\tan A=\frac{\sqrt6/2}{\sqrt2/2}=\sqrt3.
\]

Para los representantes principales compatibles con los signos positivos de ambas sumas, tomamos \(A=60^\circ\). Sustituimos en la segunda ecuación:

\[
2\cos60^\circ\cos B=\frac{\sqrt2}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
\cos B=\frac{\sqrt2}{2}.
\]

Por tanto, \(B=\pm45^\circ\). Recuperamos \(x=A+B\) e \(y=A-B\):

\[
B=45^\circ
\Longrightarrow
(x,y)=(105^\circ,15^\circ),
\]

\[
B=-45^\circ
\Longrightarrow
(x,y)=(15^\circ,105^\circ).
\]

Soluciones:

\[
\boxed{(x,y)\in
\left\{(105^\circ,15^\circ),(15^\circ,105^\circ)\right\}}.
\]