Matemáticas II · Álgebra · Tema 04

Menores, adjuntos y matriz inversa

Aprende a calcular menores complementarios, cofactores, la matriz adjunta y la inversa de una matriz cuadrada mediante determinantes.

Comenzar el tema Volver al bloque

Construir la inversa a partir de determinantes más pequeños

El cálculo de la matriz inversa mediante adjuntos exige distinguir con claridad cuatro conceptos: menor complementario, cofactor, matriz de cofactores y matriz adjunta. El orden de estos pasos evita confusiones.

1Calcular menores complementarios
2Aplicar correctamente los signos
3Obtener y comprobar \(A^{-1}\)
01
Eliminar una fila y una columna

Menor complementario

El menor complementario \(M_{ij}\) del elemento \(a_{ij}\) es el determinante que se obtiene al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\).

\[ \boxed{ M_{ij} = \left| \text{matriz obtenida al suprimir la fila }i \text{ y la columna }j \right|} \]
Ejemplo 1 · Menor complementario

Calcula \(M_{12}\) para la matriz

\[ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&4&5\\ 2&1&6 \end{pmatrix} \]

Eliminamos la primera fila y la segunda columna:

\[ M_{12} = \begin{vmatrix} 0&5\\ 2&6 \end{vmatrix} = 0\cdot6-5\cdot2 = \boxed{-10} \]
02
Incorporar el signo

Cofactor o adjunto de un elemento

El cofactor —también llamado adjunto del elemento— se obtiene multiplicando el menor complementario por el signo correspondiente.

\[ \boxed{A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}} \]
\[ \begin{pmatrix} +&-&+&-\cdots\\ -&+&-&+\cdots\\ +&-&+&-\cdots\\ -&+&-&+\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \end{pmatrix} \]
Ejemplo 2 · Cofactor

Como \(1+2=3\), el signo de la posición \((1,2)\) es negativo:

\[ A_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = -(-10) = \boxed{10} \]
! \(M_{ij}\) es un determinante. \(A_{ij}\) es el cofactor obtenido después de aplicar el signo. No son la misma cantidad.
03
Organización de los cofactores

Matriz de cofactores y matriz adjunta

Matriz de cofactores

\[ C= \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\ A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix} \]

Matriz adjunta

Es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\[ \boxed{\operatorname{Adj}(A)=C^T} \]
i Algunos libros llaman «matriz adjunta» directamente a la matriz de cofactores. En este tema utilizaremos la convención \(\operatorname{Adj}(A)=C^T\), que encaja con la fórmula de la inversa.
04
Condición de existencia

Matriz inversa

Una matriz cuadrada \(A\) tiene inversa cuando existe una matriz \(A^{-1}\) que cumple:

\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I \]
\[ \boxed{ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj}(A) \qquad\text{si }|A|\neq0 } \]

Si \(|A|\neq0\)

La matriz es invertible y su inversa es única.

Si \(|A|=0\)

La matriz no tiene inversa.

05
Procedimiento general

Pasos para calcular una inversa por adjuntos

1Calcula \(|A|\)Si vale cero, el proceso termina: no existe inversa.
2Calcula los cofactoresObtén cada \(M_{ij}\) y aplica el signo correspondiente.
3TrasponlosForma \(C\) y calcula \(\operatorname{Adj}(A)=C^T\).
4Divide por \(|A|\)Multiplica la adjunta por \(1/|A|\) y comprueba.
06
Ejemplo completo

Inversa de una matriz de orden 2

Ejemplo 3 · Método completo

Calcula la inversa de

\[ A= \begin{pmatrix} 2&1\\ 3&2 \end{pmatrix} \]

1. Determinante.

\[ |A| = \begin{vmatrix} 2&1\\ 3&2 \end{vmatrix} = 2\cdot2-1\cdot3 = 1 \]

2. Matriz de cofactores.

\[ C= \begin{pmatrix} 2&-3\\ -1&2 \end{pmatrix} \]

3. Matriz adjunta.

\[ \operatorname{Adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 2&-1\\ -3&2 \end{pmatrix} \]

4. Inversa.

\[ A^{-1} = \frac1{|A|} \operatorname{Adj}(A) = \boxed{ \begin{pmatrix} 2&-1\\ -3&2 \end{pmatrix}} \]
07
Atajo de orden 2

Fórmula directa

\[ \boxed{ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}^{-1} = \frac1{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}} \]

Esta fórmula solo puede utilizarse cuando \(ad-bc\neq0\). No sustituye la comprensión del método general, pero agiliza los cálculos de orden 2.

08
Control del resultado

Comprobación de la inversa

Ejemplo 4 · Producto con la inversa
\[ \begin{aligned} AA^{-1} &= \begin{pmatrix} 2&1\\ 3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&-1\\ -3&2 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = I_2 \end{aligned} \]
i Comprobar el producto \(AA^{-1}=I\) permite detectar errores de signos, trasposición o cálculo de cofactores.
09
Existencia según un parámetro

Cuándo existe la inversa

Ejemplo 5 · Parámetro

Determina para qué valores de \(a\) existe \(A^{-1}\)

\[ A= \begin{pmatrix} a&1\\ 2&a \end{pmatrix} \]
\[ |A|=a^2-2 \]
\[ A^{-1}\text{ existe} \iff a^2-2\neq0 \]
\[ \boxed{a\neq\sqrt2,\qquad a\neq-\sqrt2} \]
10
Biblioteca PAU

Practica adjuntos e inversas

Práctica recomendada:

En la biblioteca de Álgebra puedes localizar ejercicios que combinan operaciones matriciales, determinantes, inversas y ecuaciones matriciales.

Abrir la biblioteca de problemas de Matemáticas II →
Qué debes recordar

Menor, cofactor, adjunta e inversa son pasos diferentes

Primero se calcula cada menor, después se aplican los signos, luego se traspone la matriz de cofactores y finalmente se divide entre \(|A|\).

MenorEliminar fila y columna.
Cofactor\((-1)^{i+j}M_{ij}\).
AdjuntaTraspuesta de la matriz de cofactores.
InversaSolo existe cuando \(|A|\neq0\).

Errores frecuentes

Confundir menor y cofactorEl cofactor incluye el signo \((-1)^{i+j}\); el menor no.
Olvidar la traspuestaLa matriz adjunta utilizada en la fórmula es la traspuesta de la matriz de cofactores.
Dividir entre un determinante nuloSi \(|A|=0\), la matriz no tiene inversa.

Resumen del tema

Los menores complementarios permiten construir los cofactores. La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores y permite calcular la inversa cuando el determinante es distinto de cero.

Debes saber

  • Calcular \(M_{ij}\).
  • Aplicar el patrón de signos.
  • Construir la matriz adjunta.
  • Determinar si existe inversa.
  • Comprobar el resultado.
Scroll al inicio