Regla de Cramer
Método para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes.
Permite encontrar directamente la solución de un sistema cuando existe solución única.
¿Qué es la regla de Cramer?
La regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando determinantes.
Solo se puede aplicar cuando:
- El sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
- El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0.
Si se cumple esto, el sistema es compatible determinado (SCD).
Fórmula
\[ x_i=\frac{|A_i|}{|A|}\quad y_i=\frac{|A_i|}{|A|}\quad z_i=\frac{|A_i|}{|A|} \]
- \(|A|\): determinante de la matriz de coeficientes
- \(|A_i|\): determinante sustituyendo la columna \(i\) por los términos independientes
Ejemplo 1 (SCD)
Resuelve el sistema:
\[ \begin{cases} x + y + z = 6\\ 2x - y + z = 3\\ x + 2y - z = 3 \end{cases} \]
1. Determinante principal
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]
\[ |A| = 1(-1·-1 - 1·2) - 1(2·-1 - 1·1) + 1(2·2 - (-1)·1) \]
\[ |A| = (1-2) - (-2-1) + (4+1) = -1 + 3 + 5 = 7 \]
\[ |A| \neq 0 \Rightarrow \text{SCD} \]
2. Determinantes
\[ A_x= \begin{pmatrix} 6 & 1 & 1\\ 3 & -1 & 1\\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]
\[ |A_x| = -6 + 6 + 27 = 27 \]
\[ A_y= \begin{pmatrix} 1 & 6 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \]
\[ |A_y| = -6 + 6 + 9 = 9 \]
\[ A_z= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6\\ 2 & -1 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ |A_z| = -9 + 1 + 30 = 22 \]
3. Solución
\[ x=\frac{27}{7}, \quad y=\frac{9}{7}, \quad z=\frac{22}{7} \]
Ejemplo 2 (SCI)
Consideramos el sistema:
\[ \begin{cases} x+z=1\\ x+y+z=1\\ x-y+z=1 \end{cases} \]
1. Determinante de la matriz de coeficientes
\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ |A|=0 \]
Luego el sistema no es compatible determinado.
2. Estudio del rango
Tomamos el menor:
\[ \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =1\neq 0 \]
Por tanto:
\[ rg(A)=2 \]
Al orlar con la columna ampliada se obtiene determinante 0, luego:
\[ rg(A^*)=2 \]
Así,
\[ rg(A)=rg(A^*)=2<3 \]
→ El sistema es compatible indeterminado (SCI).
3. Idea clave: dependencia entre ecuaciones
Que el rango sea 2 significa que:
- solo hay dos ecuaciones independientes
- la tercera es combinación lineal de las otras
De hecho, se puede comprobar que:
\[ \text{(2ª ecuación)} - \text{(3ª ecuación)} \Rightarrow 2y=0 \Rightarrow y=0 \]
y sustituyendo en cualquiera de ellas se recupera la misma información que en las otras.
Conclusión: eliminar una ecuación no cambia el conjunto de soluciones.
4. Elección del parámetro libre
El menor no nulo utiliza las incógnitas \(x\) e \(y\), por lo que la incógnita libre es:
\[ z=\lambda \]
Eliminamos una ecuación redundante (por ejemplo, la tercera) y trabajamos con:
\[ \begin{cases} x+z=1\\ x+y+z=1 \end{cases} \]
Sustituyendo \(z=\lambda\):
\[ \begin{cases} x=1-\lambda\\ x+y=1-\lambda \end{cases} \]
5. Resolución por Cramer
Para \(x\) (aunque se ve claramente la solución en la 1ª ecuación del sistema reducido, explicamos cómo se haría con Cramer):
\[ A_x= \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0\\ 1-\lambda & 1 \end{pmatrix} \]
\[ |A_x|= \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0\\ 1-\lambda & 1 \end{vmatrix} =1-\lambda \]
\[ x=\frac{|A_x|}{|A_1|}=\frac{1-\lambda}{1}=1-\lambda \]
Para \(y\):
\[ A_y= \begin{pmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} \]
\[ |A_y|= \begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} =0 \]
\[ y=\frac{|A_y|}{|A_1|}=\frac{0}{1}=0 \]
6. Solución general
\[ (x,y,z)=(1-\lambda,0,\lambda) \]
7. Comprobación de la ecuación eliminada
Verificamos que la solución satisface la tercera ecuación:
\[ x - y + z = (1-\lambda) - 0 + \lambda = 1 \]
Se cumple exactamente la ecuación:
\[ x - y + z = 1 \]
Conclusión:
- la ecuación eliminada no aporta información nueva
- queda automáticamente satisfecha
Idea final importante
- En un SCI hay ecuaciones dependientes
- Se puede eliminar una sin perder soluciones
- Se reduce el sistema y aparece un parámetro
- Cramer sí se puede aplicar al sistema reducido
Conclusión clave
- Si \(|A|\neq 0\) → se puede aplicar Cramer → SCD
- Si \(|A|=0\) → NO se puede aplicar Cramer directamente → parametrizar una incógnita y elimar una ecuación