Matemáticas II · Álgebra · Tema 09

Teorema de Rouché-Frobenius

Clasifica sistemas lineales comparando el rango de la matriz de coeficientes con el rango de la matriz ampliada.

Decidir la compatibilidad sin resolver todo el sistema

El teorema de Rouché-Frobenius relaciona el número de soluciones con dos rangos: el de la matriz de coeficientes \(A\) y el de la matriz ampliada \(A^*\).

1Construir \(A\) y \(A^*\)

2Calcular y comparar rangos

3Discutir sistemas con parámetros

Criterio fundamental

Enunciado del teorema

Compatible determinado

\[ \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = n \]

El sistema tiene una única solución.

Compatible indeterminado

\[ \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) < n \]

El sistema tiene infinitas soluciones.

Incompatible

\[ \operatorname{rg}(A) \neq \operatorname{rg}(A^*) \]

El sistema no tiene solución.

i \(n\) es el número de incógnitas, no el número de ecuaciones.

Dos matrices distintas

Matriz de coeficientes y matriz ampliada

\[ \begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} \]

Matriz de coeficientes

\[ A=(a_{ij}) \]

Matriz ampliada

\[ A^*=(A\mid b) \]

Cálculo de rangos

Orlar un menor

Orlar un menor consiste en añadir una fila y una columna para intentar construir un menor de orden superior.

Paso 1Base

Encuentra un menor no nulo

Este menor establece una cota inferior para el rango.

Paso 2Orlado

Añade fila y columna

Forma determinantes de orden superior que contengan al menor inicial.

Paso 3Conclusión

Comprueba si aumenta el rango

Un orlado no nulo aumenta el rango; si todos son nulos, se mantiene.

Caso especial

Sistemas homogéneos

Un sistema homogéneo tiene todos los términos independientes iguales a cero. Siempre admite la solución trivial.

\[ \boxed{\text{Un sistema homogéneo nunca es incompatible}} \]

Si \(\operatorname{rg}(A)=n\)

Solo existe la solución trivial.

\[ x_1=\cdots=x_n=0 \]

Si \(\operatorname{rg}(A) < n \)

Existen infinitas soluciones, incluida la trivial.

Corrección del caso con parámetro

Discusión de un sistema homogéneo

Ejemplo 1 · Parámetro \(a\)

Sea un sistema homogéneo de tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es:

\[ A(a)= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&a&1\\ 0&0&a+1 \end{pmatrix} \]

Al ser triangular:

\[ |A|=a(a+1) \]

Si \(a\neq0\) y \(a\neq-1\):

\[ |A|\neq0 \Longrightarrow \operatorname{rg}(A)=3 \]

\[ \boxed{\text{SCD: solo la solución trivial}} \]

Si \(a=0\) o \(a=-1\):

\[ \operatorname{rg}(A)=2<3 \]

\[ \boxed{\text{SCI: infinitas soluciones}} \]

! Los valores excepcionales de \(a(a+1)\) son \(\boxed{a=0}\) y \(\boxed{a=-1}\).

Sistema no homogéneo

Discusión completa con parámetro

Ejemplo 2 · Parámetro \(\lambda\)

\[ \begin{cases} \lambda x+z=1,\\ x+y+\lambda z=1,\\ x-y+z=1. \end{cases} \]

\[ A= \begin{pmatrix} \lambda&0&1\\ 1&1&\lambda\\ 1&-1&1 \end{pmatrix} \]

1. Determinante principal.

\[ |A| = (\lambda-1)(\lambda+2) \]

2. Caso general.

\[ \lambda\neq1,\ -2 \Longrightarrow |A|\neq0 \Longrightarrow \boxed{\text{SCD}} \]

3. Caso \(\lambda=1\).

\[ \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2<3 \]

\[ \boxed{\text{SCI}} \]

4. Caso \(\lambda=-2\).

\[ \operatorname{rg}(A)=2, \qquad \operatorname{rg}(A^*)=3 \]

\[ \boxed{\text{SI}} \]

Guion de examen

Método para discutir un sistema

Paso 1Determinante

Calcula \(|A|\)

Si es no nulo y el sistema es cuadrado, el sistema es SCD.

Paso 2Casos

Estudia los valores excepcionales

Calcula \(\operatorname{rg}(A)\) mediante menores o Gauss.

Paso 3Ampliada

Calcula \(\operatorname{rg}(A^*)\)

Compara los rangos y el número de incógnitas.

Biblioteca PAU

Practica la discusión de sistemas

Práctica recomendada:

Filtra la biblioteca por Álgebra y sistemas para trabajar discusiones con parámetros, sistemas homogéneos y problemas contextualizados.

Abrir la biblioteca de problemas →

Qué debes recordar

Compatibilidad significa igualdad de rangos

Si los rangos son distintos, el sistema es incompatible. Si coinciden, habrá una solución o infinitas según si el rango común alcanza o no el número de incógnitas.

SCD\(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=n\).

SCIRangos iguales y menores que \(n\).

SILos rangos son distintos.

HomogéneoNunca puede ser incompatible.

Errores frecuentes

Comparar solo con el número de ecuacionesEl teorema utiliza el número de incógnitas \(n\).

Estudiar solo \(\operatorname{rg}(A)\)En los casos singulares también debe calcularse \(\operatorname{rg}(A^*)\).

Declarar incompatible un sistema homogéneoSiempre admite al menos la solución trivial.

Resumen del tema

Rouché-Frobenius clasifica sistemas comparando los rangos de \(A\) y \(A^*\). Los parámetros se estudian primero mediante \(|A|\) y después, en los casos excepcionales, mediante menores u operaciones de Gauss.

Debes saber

Construir \(A\) y \(A^*\).
Aplicar el teorema.
Orlar menores.
Discutir parámetros.
Reconocer sistemas homogéneos.