Planos en el espacio
Aprende a trabajar con planos en el espacio: ecuación general, ecuación normal y formas de obtener un plano a partir de distintos datos.
Este tema es fundamental para estudiar posiciones relativas, ángulos y distancias en el espacio. Además, conecta directamente con vectores y producto vectorial.
Idea básica
Un plano en el espacio queda determinado por un punto y un vector normal. También puede determinarse a partir de un punto y dos vectores contenidos en él. En ambos casos, el objetivo final es escribir su ecuación.
Ecuación general del plano
La ecuación general de un plano se escribe como:
\[ Ax+By+Cz+D=0 \]
donde \((A,B,C)\) es un vector normal al plano.
Esto significa que el vector:
\[ \vec{n}=(A,B,C) \]
es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano.
Ecuación normal del plano
Si conocemos un punto \(P(x_0,y_0,z_0)\) del plano y un vector normal \((A,B,C)\), la ecuación normal es:
\[ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \]
Al desarrollar esta expresión, llegamos a la ecuación general del plano:
\[ Ax+By+Cz+D=0 \]
Formas de obtener un plano
a) A partir de un punto y dos vectores del plano
Si un punto \(X(x,y,z)\) pertenece al plano determinado por el punto \(P(x_0,y_0,z_0)\) y los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), entonces los tres vectores:
\[ \overrightarrow{PX}=(x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0),\qquad \vec{u},\qquad \vec{v} \]
deben ser coplanarios. Por tanto, su determinante vale 0:
\[ \begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=0 \]
Esta expresión también da la ecuación del plano.
Ejemplo completo
Queremos obtener la ecuación del plano que pasa por el punto:
\[ P(1,2,0) \]
y contiene los vectores:
\[ \vec{u}=(1,0,1), \qquad \vec{v}=(0,1,-1) \]
\[ \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}=0 \]
Desarrollamos por la primera fila:
\[ (x-1) \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & -1 \end{vmatrix} -(y-2) \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 0 & -1 \end{vmatrix} +z \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =0 \]
\[ (x-1)(0\cdot(-1)-1\cdot1) -(y-2)(1\cdot(-1)-1\cdot0) +z(1\cdot1-0\cdot0)=0 \]
\[ (x-1)(-1)-(y-2)(-1)+z=0 \]
\[ -(x-1)+(y-2)+z=0 \]
\[ -x+1+y-2+z=0 \]
\[ -x+y+z-1=0 \]
b) A partir de un vector normal y un punto
Este es el caso más directo. Si conocemos un punto del plano y un vector normal, aplicamos la ecuación normal sin más pasos.
Ejemplo
Dado el punto:
\[ P(2,1,-1) \]
y el vector normal:
\[ \vec{n}=(3,-1,2) \]
la ecuación normal del plano es:
\[ 3(x-2)-1(y-1)+2(z+1)=0 \]
Desarrollamos:
\[ 3x-6-y+1+2z+2=0 \]
\[ 3x-y+2z-3=0 \]
Ecuación del plano:
\[ 3x-y+2z-3=0 \]
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Qué debes recordar
Interpretación importante
Cuando te dan un punto y dos vectores del plano, esos vectores están “dentro” del plano. Por eso primero necesitas fabricar un vector perpendicular a ambos: ese será el vector normal del plano.
Cómo estudiar este tema
Mi recomendación es dominar primero el caso más directo: punto y vector normal. Después trabaja el caso de punto y dos vectores del plano, porque ahí aparece el producto vectorial y el determinante. Es importante que sepas reconocer rápidamente qué datos te da el enunciado y qué método conviene usar.
Resumen final
- La ecuación general del plano es \(Ax+By+Cz+D=0\).
- La ecuación normal del plano es \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\).
- Si te dan un punto y dos vectores del plano, primero obtienes un vector normal.
- Ese vector normal puede obtenerse con el producto vectorial.
- También puede plantearse la ecuación del plano mediante un determinante igualado a 0.
- Si te dan un punto y un vector normal, el plano se obtiene directamente.