Matemáticas II · Geometría · Tema 02

Rectas en el espacio

Aprende a construir y transformar las ecuaciones de una recta en \(\mathbb R^3\) a partir de un punto y un vector director.

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Un punto fija la posición y un vector determina la dirección

Una recta del espacio queda determinada por uno de sus puntos y por un vector director no nulo. A partir de estos datos se obtienen sus ecuaciones vectorial, paramétricas y continua.

1Identificar punto y director
2Pasar entre ecuaciones
3Obtener una recta como intersección
01
Datos necesarios

Punto y vector director

Sea \(A(a_1,a_2,a_3)\) un punto de la recta y \(\vec v=(v_1,v_2,v_3)\neq\vec0\) un vector director.

\[ \boxed{r:\ \vec x=\overrightarrow{OA}+t\vec v,\qquad t\in\mathbb R} \]
i Cualquier múltiplo no nulo de \(\vec v\) es también vector director de la misma recta.
02
Formas de expresión

Ecuaciones de la recta

Ecuación vectorial

\[ (x,y,z) = (a_1,a_2,a_3) + t(v_1,v_2,v_3) \]

Ecuaciones paramétricas

\[ \begin{cases} x=a_1+tv_1,\\ y=a_2+tv_2,\\ z=a_3+tv_3. \end{cases} \]

Ecuación continua

\[ \frac{x-a_1}{v_1} = \frac{y-a_2}{v_2} = \frac{z-a_3}{v_3} \]

Se escribe directamente cuando las tres componentes son no nulas.

Intersección de dos planos

\[ r: \begin{cases} \pi_1=0,\\ \pi_2=0. \end{cases} \]

Representa una recta cuando los planos son secantes.

03
Construcción directa

Recta por un punto y una dirección

Ejemplo 1

Obtén las ecuaciones de la recta que pasa por \(A(1,-2,3)\) y tiene director \(\vec v=(2,1,-1)\)

Ecuación vectorial:

\[ (x,y,z) = (1,-2,3) + t(2,1,-1) \]

Ecuaciones paramétricas:

\[ \begin{cases} x=1+2t,\\ y=-2+t,\\ z=3-t. \end{cases} \]

Ecuación continua:

\[ \boxed{ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{-1}} \]
04
Dirección mediante dos puntos

Recta que pasa por dos puntos

Si la recta pasa por \(A\) y \(B\), puede tomarse como vector director:

\[ \boxed{\vec v=\overrightarrow{AB}=B-A} \]
Ejemplo 2
\[ A(1,0,2), \qquad B(3,-1,5) \]
\[ \overrightarrow{AB} = (3-1,-1-0,5-2) = (2,-1,3) \]
\[ \boxed{ (x,y,z) = (1,0,2) + t(2,-1,3)} \]
05
Componente nula

Qué ocurre en la ecuación continua

Si alguna componente del vector director es cero, no se escribe una fracción con denominador cero. La coordenada correspondiente permanece constante.

Ejemplo 3 · Director con componente nula
\[ (x,y,z) = (1,2,-1) + t(3,0,2) \]
\[ \begin{cases} x=1+3t,\\ y=2,\\ z=-1+2t. \end{cases} \]
\[ \boxed{ \frac{x-1}{3} = \frac{z+1}{2}, \qquad y=2} \]
06
Comprobar un punto

Pertenencia de un punto a una recta

Un punto pertenece a la recta si existe un mismo valor del parámetro que satisface simultáneamente las tres ecuaciones.

Ejemplo 4

Sea:

\[ r: \begin{cases} x=1+2t,\\ y=-2+t,\\ z=3-t. \end{cases} \]

Para \(P(5,0,1)\):

\[ 5=1+2t \Longrightarrow t=2 \]
\[ -2+2=0, \qquad 3-2=1 \]
\[ \boxed{P\in r} \]
07
Ecuaciones implícitas

Recta como intersección de dos planos secantes

\[ \boxed{ r=\pi_1\cap\pi_2 \quad\text{cuando }\pi_1\text{ y }\pi_2 \text{ son planos secantes}} \]
1Calcula los normalesExtrae \(\vec n_1\) y \(\vec n_2\) de las ecuaciones.
2Obtén la dirección\(\vec v=\vec n_1\times\vec n_2\).
3Busca un puntoFija una coordenada y resuelve las otras dos.
4Escribe la rectaUtiliza el punto y el vector director obtenidos.
08
Ejemplo corregido

Intersección de dos planos

Ejemplo 5 · Desarrollo completo
\[ \pi_1:x+y+z=1, \qquad \pi_2:2x-y+z=3 \]

1. Vectores normales.

\[ \vec n_1=(1,1,1), \qquad \vec n_2=(2,-1,1) \]

2. Vector director de la recta.

\[ \begin{aligned} \vec v &= \vec n_1\times\vec n_2\\ &= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 1&1&1\\ 2&-1&1 \end{vmatrix}\\ &= \boxed{(2,1,-3)} \end{aligned} \]

3. Buscamos un punto tomando \(z=0\).

\[ \begin{cases} x+y=1,\\ 2x-y=3. \end{cases} \]
\[ 3x=4 \Longrightarrow x=\frac43, \qquad y=-\frac13 \]
\[ A\left(\frac43,-\frac13,0\right) \]

4. Ecuación de la recta.

\[ \boxed{ r:\ (x,y,z) = \left(\frac43,-\frac13,0\right) + t(2,1,-3)} \]

Comprobación del punto:

\[ \frac43-\frac13+0=1, \qquad 2\cdot\frac43+\frac13+0=3 \]
09
Biblioteca PAU

Practica rectas del espacio

Práctica recomendada:

En la biblioteca de Geometría puedes localizar ejercicios de obtención de rectas, intersecciones con planos y problemas con parámetros.

Abrir la biblioteca PAU de Geometría →
Qué debes recordar

Una recta necesita un punto y una dirección

Todas sus ecuaciones describen el mismo conjunto de puntos. El parámetro recorre la recta y el vector director determina su orientación.

PuntoDebe pertenecer a la recta.
DirectorCualquier múltiplo no nulo sirve.
ContinuaNo se divide entre una componente nula.
Dos planosLa intersección es recta si son secantes.

Errores frecuentes

Usar distintos parámetrosLas tres ecuaciones paramétricas deben compartir el mismo valor de \(t\).
Dividir entre ceroUna componente nula del director produce una coordenada constante.
Suponer que dos planos siempre se cortan en una rectaTambién pueden ser paralelos o coincidentes.

Resumen del tema

Una recta queda determinada por un punto y un vector director. Sus ecuaciones vectorial, paramétricas y continua son equivalentes. También puede representarse como intersección de dos planos secantes.

Debes saber

  • Construir una recta por punto y director.
  • Obtener el director mediante dos puntos.
  • Pasar entre ecuaciones.
  • Comprobar pertenencia.
  • Calcular la intersección de dos planos.
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