Rectas en el espacio
Aprende a representar rectas en el espacio mediante ecuaciones vectoriales, paramétricas y continuas.
Este tema conecta directamente con vectores y es fundamental para estudiar posiciones relativas, intersecciones y distancias.
Idea básica
Una recta en el espacio queda determinada por un punto y un vector director. A partir de ellos podemos expresar la recta de distintas formas.
Ecuación vectorial de la recta
Si conocemos un punto \(A(x_0,y_0,z_0)\) y un vector director \(\vec{v}=(a,b,c)\), la recta se expresa como:
\[ \vec{r}=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c) \]
donde \(t\in\mathbb{R}\).
Ecuaciones paramétricas
A partir de la ecuación vectorial:
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{cases} \]
Ecuación continua
Si \(a,b,c \neq 0\), podemos escribir:
\[ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} \]
Ecuación de la recta como intersección de dos planos
Una recta en el espacio también puede definirse como la intersección de dos planos.
En ese caso, la recta se expresa como un sistema de dos ecuaciones:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \end{cases} \]
Cada ecuación representa un plano, y su intersección es una recta.
Vector director de la recta
El vector director de la recta se obtiene como el producto vectorial de los vectores normales de los planos.
\[ \vec{v}=\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 \]
donde:
\[ \vec{n}_1=(a_1,b_1,c_1), \quad \vec{n}_2=(a_2,b_2,c_2) \]
Ejemplo
Dada la recta definida por:
\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x-y+z=3 \end{cases} \]
Los vectores normales son:
\[ \vec{n}_1=(1,1,1), \quad \vec{n}_2=(2,-1,1) \]
Calculamos el vector director:
\[ \vec{v}=\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 \]
\[ \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} =(2,1,-3) \]
Este vector será el director de la recta.
A partir de aquí, se puede obtener la ecuación paramétrica o continua resolviendo el sistema.
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Qué debes recordar
Ejemplos
Dado el punto \(A(1,2,0)\) y el vector \(\vec{v}=(2,-1,3)\):
Ecuación vectorial
\[ \vec{r}=(1,2,0)+t(2,-1,3) \]
Ecuaciones paramétricas
\[ \begin{cases} x=1+2t\\ y=2-t\\ z=3t \end{cases} \]
Ecuación continua
\[ \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{3} \]
Ejemplo con ecuación general como corte de dos planos
Dada la recta definida como intersección de los planos:
\[ \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x-y+z=3 \end{cases} \]
1. Vectores normales
\[ \vec{n}_1=(1,1,1), \quad \vec{n}_2=(2,-1,1) \]
2. Vector director
\[ \vec{v}=\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 \]
\[ \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} =(2,1,-3) \]
3. Obtener un punto de la recta
Resolvemos el sistema. Por ejemplo, fijamos una variable:
Tomamos \(z=0\):
\[ \begin{cases} x+y=1\\ 2x-y=3 \end{cases} \]
Sumamos ambas ecuaciones:
\[ 3x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{3} \]
Sustituimos:
\[ y=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3} \]
Por tanto, un punto es:
\[ A\left(\frac{4}{3},-\frac{1}{3},0\right) \]
4. Ecuación de la recta
Vectorial:
\[ \vec{r}=\left(\frac{4}{3},-\frac{1}{3},0\right)+t(2,1,-3) \]
Paramétrica:
\[ \begin{cases} x=\frac{4}{3}+2t\\ y=-\frac{1}{3}+t\\ z=-3t \end{cases} \]
Continua:
\[ \frac{x-\frac{4}{3}}{2}=\frac{y+\frac{1}{3}}{1}=\frac{z}{-3} \]
Cómo estudiar este tema
Practica pasar de una forma a otra (vectorial → paramétrica → continua). Es clave dominar esto antes de estudiar posiciones relativas.
Resumen final
- Una recta se define con un punto y un vector director.
- Se puede expresar en forma vectorial, paramétrica y continua.
- El parámetro \(t\) recorre todos los puntos de la recta.
- Es fundamental para todo el bloque de Geometría.