Matemáticas II · Geometría · Tema 03

Planos en el espacio

Aprende a construir las ecuaciones de un plano mediante un punto, vectores directores, un vector normal o tres puntos no alineados.

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Dos direcciones independientes generan un plano

Un plano puede describirse mediante dos vectores directores independientes o mediante un vector normal. Saber pasar de una descripción a otra es esencial para estudiar intersecciones, ángulos y distancias.

1Escribir ecuaciones vectoriales y paramétricas

2Obtener un vector normal

3Construir planos con diferentes datos

Datos fundamentales

Punto y dos vectores independientes

Sean \(A(a_1,a_2,a_3)\) un punto y \(\vec u,\vec v\) dos vectores contenidos en el plano.

\[ \boxed{\vec u\times\vec v\neq\vec0} \]

Esta condición garantiza que los vectores no son paralelos y determinan una única dirección bidimensional.

! Un punto y dos vectores paralelos no determinan un plano único.

Tres representaciones

Ecuaciones de un plano

Ecuación vectorial

\[ (x,y,z) = A+\lambda\vec u+\mu\vec v \]

\(\lambda,\mu\in\mathbb R\).

Ecuaciones paramétricas

\[ \begin{cases} x=a_1+\lambda u_1+\mu v_1,\\ y=a_2+\lambda u_2+\mu v_2,\\ z=a_3+\lambda u_3+\mu v_3. \end{cases} \]

Ecuación general

\[ \boxed{Ax+By+Cz+D=0} \]

Su vector normal es \(\vec n=(A,B,C)\).

Perpendicular al plano

Vector normal

Si \(\vec u\) y \(\vec v\) son dos vectores directores independientes del plano, un vector normal se obtiene mediante:

\[ \boxed{\vec n=\vec u\times\vec v} \]

Si \(A(a_1,a_2,a_3)\) pertenece al plano, todo punto \(P(x,y,z)\) del plano cumple:

\[ \vec n\cdot\overrightarrow{AP}=0 \]

\[ \boxed{ A(x-a_1)+B(y-a_2)+C(z-a_3)=0} \]

Punto y dos direcciones

Ejemplo completo

Ejemplo 1

Obtén el plano que pasa por \(A(1,0,-1)\) y contiene los vectores \(\vec u=(1,2,0)\), \(\vec v=(0,1,1)\)

1. Comprobamos la independencia.

\[ \vec u\times\vec v = \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 1&2&0\\ 0&1&1 \end{vmatrix} = (2,-1,1)\neq\vec0 \]

2. Ecuación vectorial.

\[ (x,y,z) = (1,0,-1) + \lambda(1,2,0) + \mu(0,1,1) \]

3. Ecuaciones paramétricas.

\[ \begin{cases} x=1+\lambda,\\ y=2\lambda+\mu,\\ z=-1+\mu. \end{cases} \]

4. Ecuación general.

\[ 2(x-1)-y+(z+1)=0 \]

\[ \boxed{2x-y+z-1=0} \]

Tres puntos no alineados

Plano determinado por tres puntos

Los puntos \(A,B,C\) determinan un plano único cuando \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{AC}\) no son paralelos.

\[ \boxed{ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\neq\vec0} \]

Ejemplo 2

\[ A(1,0,0), \qquad B(0,1,0), \qquad C(0,0,1) \]

\[ \overrightarrow{AB}=(-1,1,0), \qquad \overrightarrow{AC}=(-1,0,1) \]

\[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (1,1,1) \]

\[ 1(x-1)+1(y-0)+1(z-0)=0 \]

\[ \boxed{x+y+z-1=0} \]

Construcciones habituales

Datos que determinan un plano

Un punto y un normal

Se utiliza directamente la ecuación punto-normal.

\[ \vec n\cdot\overrightarrow{AP}=0 \]

Un punto y dos directores

Los directores deben ser linealmente independientes.

\[ \vec u\times\vec v\neq\vec0 \]

Tres puntos

Los tres puntos no pueden estar alineados.

\[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\neq\vec0 \]

Una recta y un punto exterior

Plano que contiene una recta

Si \(r\) pasa por \(A\) y tiene director \(\vec v\), y \(P\notin r\), el plano queda determinado por:

\[ \vec v \quad\text{y}\quad \overrightarrow{AP} \]

\[ \boxed{\vec n=\vec v\times\overrightarrow{AP}} \]

i Si \(P\in r\), existen infinitos planos que contienen la recta y el punto no aporta una segunda dirección.

Comprobación

Pertenencia de un punto

Para comprobar si \(P(x_0,y_0,z_0)\) pertenece al plano se sustituyen sus coordenadas en la ecuación general.

Ejemplo 3

\[ \pi:2x-y+z-1=0 \]

Para \(P(1,2,1)\):

\[ 2\cdot1-2+1-1=0 \]

\[ \boxed{P\in\pi} \]

Biblioteca PAU

Practica la construcción de planos

Práctica recomendada:

Utiliza la biblioteca para localizar problemas de planos determinados por puntos, rectas, condiciones de paralelismo o perpendicularidad y parámetros.

Abrir la biblioteca PAU de Geometría →

Qué debes recordar

Los directores generan el plano y el normal es perpendicular a él

Dos vectores directores independientes permiten construir la forma paramétrica. Su producto vectorial proporciona un normal y conduce a la ecuación general.

DirectoresDeben ser independientes.

Normal\(\vec n=\vec u\times\vec v\).

General\(Ax+By+Cz+D=0\).

Tres puntosNo pueden estar alineados.

Errores frecuentes

Usar dos directores paralelosNo determinan un único plano.

Confundir director y normalLos directores están contenidos en el plano; el normal es perpendicular.

No comprobar los tres puntosDeben ser distintos y no estar alineados.

Resumen del tema

Un plano puede determinarse mediante un punto y dos vectores directores independientes, mediante un punto y un normal o mediante tres puntos no alineados. Las formas vectorial, paramétrica y general son equivalentes.

Debes saber

Comprobar independencia.
Escribir la forma vectorial.
Obtener un normal.
Calcular la ecuación general.
Construir el plano por tres puntos.