4B – Bolsa de fichas
Castilla y León · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
De una bolsa de 20 fichas numeradas del 1 al 20 se extraen sucesivamente 2 fichas sin reemplazamiento.
Se pide:
- Calcular la probabilidad de que ambos números sean múltiplos de 3. (0,5 puntos)
- Calcular la probabilidad de que el primer número sea múltiplo de 6 y el segundo sea múltiplo de 3. (0,75 puntos)
- Calcular la probabilidad de que ninguno de los dos números sea múltiplo de 2. (0,75 puntos)
- Calcular la probabilidad de que la segunda ficha sea un número impar, sabiendo que la primera también lo ha sido. (0,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Se realizan dos extracciones sucesivas y las fichas no se devuelven a la bolsa.
Esto significa que las probabilidades de la segunda extracción cambian, ya que después de sacar la primera ficha únicamente quedan 19 fichas.
Antes de comenzar conviene contar cuántos números cumplen cada propiedad:
- Múltiplos de 3.
- Múltiplos de 6.
- Múltiplos de 2 (pares).
- Números impares.
En el apartado d) aparece la expresión "sabiendo que la primera también lo ha sido", lo que indica que debemos calcular una probabilidad condicionada.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
Intervienen los siguientes conceptos:
- Probabilidad de sucesos dependientes.
- Regla del producto.
- Extracciones sin reemplazamiento.
- Probabilidad condicionada.
La idea fundamental es que, al no devolver la primera ficha a la bolsa, tanto el número de casos posibles como el de casos favorables cambian en la segunda extracción.
🟢 Estrategia de resolución
Antes de realizar ningún cálculo identificamos los números que cumplen cada condición:
- Múltiplos de 3.
- Múltiplos de 6.
- Pares.
- Impares.
En los tres primeros apartados utilizaremos la regla del producto:
\[
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)
\]
Recordaremos que tras la primera extracción solo quedan 19 fichas.
En el apartado d) bastará con calcular directamente la probabilidad condicionada utilizando la información de que la primera ficha ya ha sido impar.
🟣 Resolución paso a paso
a) Probabilidad de que ambos números sean múltiplos de 3
Los múltiplos de 3 comprendidos entre 1 y 20 son:
\[
3\,\\\;6\,\\\;9\,\\\;12\,\\\;15\,\\\;18
\]
Hay, por tanto, 6 múltiplos de 3.
La probabilidad de que la primera ficha sea múltiplo de 3 es:
\[
\frac{6}{20}
\]
Como la extracción es sin reemplazamiento, quedan 5 múltiplos de 3 entre las 19 fichas restantes:
\[
P=\frac{6}{20}\cdot\frac{5}{19}
=\frac{30}{380}
=\frac{3}{38}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\frac{3}{38}}
\]
b) Probabilidad de que el primer número sea múltiplo de 6 y el segundo múltiplo de 3
Los múltiplos de 6 entre 1 y 20 son:
\[
6\,\\\;12\,\\\;18
\]
Hay 3 múltiplos de 6.
Si la primera ficha es múltiplo de 6, también es múltiplo de 3, por lo que quedan únicamente 5 múltiplos de 3 entre las 19 fichas restantes.
Aplicando la regla del producto:
\[
P=\frac{3}{20}\cdot\frac{5}{19}
=\frac{15}{380}
=\frac{3}{76}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\frac{3}{76}}
\]
c) Probabilidad de que ninguno de los dos números sea múltiplo de 2
No ser múltiplo de 2 equivale a ser impar.
Entre los números del 1 al 20 existen 10 números impares.
La probabilidad buscada es:
\[
P=\frac{10}{20}\cdot\frac{9}{19}
=\frac{90}{380}
=\frac{9}{38}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\frac{9}{38}}
\]
d) Probabilidad de que la segunda ficha sea impar sabiendo que la primera también lo ha sido
Sabemos que la primera ficha ya ha sido impar.
Inicialmente había 10 números impares y, tras extraer uno, quedan:
- 9 números impares.
- 19 fichas en total.
Por tanto,
\[
P(\text{segunda impar}\mid\text{primera impar})
=\frac{9}{19}
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\frac{9}{19}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En las extracciones sin reemplazamiento las probabilidades cambian después de cada extracción.
- Antes de calcular probabilidades conviene contar correctamente los casos favorables.
- La regla del producto permite resolver sucesos dependientes.
- Cuando el enunciado dice "sabiendo que", estamos ante una probabilidad condicionada.
- Un error frecuente consiste en seguir dividiendo entre 20 en la segunda extracción, cuando realmente solo quedan 19 fichas.