E10 – Miopía y probabilidad condicionada
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
En una población se estudian \(550\) mujeres, de las cuales \(280\) son miopes, y \(420\) hombres, de los cuales (190) son miopes.
Se elige una persona al azar y se consideran los sucesos:
- \(A\): «la persona elegida es mujer».
- \(B\): «la persona elegida es hombre».
- \(M\): «la persona elegida es miope».
- Calcular \(P(A)\), \( P(M \mid A) \) y \( P(B \cap M) \). (0,5 puntos)
- Calcular \(P(M)\). (0,5 puntos)
- Calcular \(P(A \mid M)\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La población total está formada por \( 550+420=970 \) personas.
Una tabla de doble entrada permite distinguir mujeres y hombres, miopes y no miopes.
En una probabilidad condicionada, el denominador es el número de casos que cumplen la condición.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Frecuencias y probabilidades.
- Intersección de sucesos.
- Probabilidad condicionada.
- Probabilidad total y fórmula de Bayes.
La fórmula \( P(A\mid M)=P(A\cap M)/P(M) \) restringe el espacio muestral a las personas miopes.
🟢 Estrategia de resolución
Organizaremos primero los datos y calcularemos el total de personas y el total de personas miopes.
En cada probabilidad identificaremos el conjunto de casos favorables y el conjunto de casos posibles.
Para el último apartado aplicaremos directamente la definición de probabilidad condicionada.
🟣 Resolución paso a paso
Organización de los datos
El número total de personas es:
\[
550+420=970.
\]
El total de personas miopes es:
\[
280+190=470.
\]
a) Cálculo de \( P(A) \), \( P(M \mid A) \) y \( P(B \cap M) \)
La probabilidad de elegir una mujer es:
\[
P(A)=\frac{550}{970}=\frac{55}{97}.
\]
Entre las \( 550 \) mujeres hay \(280\) miopes:
\[
P(M\mid A)=\frac{280}{550}=\frac{28}{55}.
\]
Hay \(190\) hombres miopes en el total de \(970\) personas:
\[
P(B\cap M)=\frac{190}{970}=\frac{19}{97}.
\]
\[
\boxed{P(A)=\frac{55}{97},\qquad
P(M\mid A)=\frac{28}{55},\qquad
P(B\cap M)=\frac{19}{97}.}
\]
b) Probabilidad de miopía
Como hay \(470\) personas miopes:
\[
P(M)=\frac{470}{970}=\frac{47}{97}.
\]
\[
\boxed{P(M)=\frac{47}{97}.}
\]
c) Probabilidad de que sea mujer sabiendo que es miope
Aplicamos la definición de probabilidad condicionada:
\[
P(A\mid M)=\frac{P(A\cap M)}{P(M)}.
\]
Entre las \(470\) personas miopes, \(280\) son mujeres. Por tanto:
\[
P(A\mid M)=\frac{280}{470}=\frac{28}{47}.
\]
\[
\boxed{P(A\mid M)=\frac{28}{47}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una tabla de contingencia ayuda a ordenar los datos de dos características.
- En \( P(M\mid A) \), el espacio de referencia son únicamente las mujeres.
- Una intersección exige que se cumplan simultáneamente los dos sucesos.
- En \( P(A\mid M) \), el espacio de referencia son únicamente las personas miopes.