E7 – Estudio de la función \(e^x/x\)
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Dada la función:
\[
f(x)=e^x x^{-1},
\]
determine su dominio, asíntotas verticales y horizontales, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esboce su gráfica. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La función combina una exponencial, siempre positiva, con el factor \(1/x\).
El punto \(x=0\) queda fuera del dominio y separa dos ramas con signos distintos.
El esbozo debe reunir la información del dominio, los límites y el signo de la derivada.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio de una función.
- Asíntotas verticales y horizontales.
- Regla del cociente.
- Monotonía y extremos relativos.
Una asíntota horizontal puede aparecer solo en uno de los dos infinitos.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos el dominio y los límites en \(0^-\), \(0^+\), \(-\infty\) y \(+\infty\).
Derivamos y estudiamos el signo de \(f'(x)\), teniendo en cuenta que \(x^2>0\) en el dominio.
Situamos el extremo y usamos toda la información para describir la gráfica.
🟣 Resolución paso a paso
1. Dominio
El denominador no puede anularse:
\[
\boxed{D_f=\mathbb R\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)}.
\]
2. Asíntotas
En \(x=0\):
\[
\lim_{x\to0^-}\frac{e^x}{x}=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to0^+}\frac{e^x}{x}=+\infty.
\]
Por tanto, \(\boxed{x=0}\) es una asíntota vertical.
En el infinito negativo:
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x}=0.
\]
Luego \(\boxed{y=0}\) es una asíntota horizontal cuando \(x\to-\infty\). En \(+\infty\), la función tiende a \(+\infty\), por lo que no hay asíntota horizontal.
3. Monotonía y extremos
Derivamos:
\[
f'(x)=\frac{e^x x-e^x}{x^2}
=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.
\]
Como \(e^x>0\) y \(x^2>0\), el signo depende de \(x-1\):
- Decrece en \((-\infty,0)\) y \((0,1)\).
- Crece en \((1,+\infty)\).
En \(x=1\), la derivada cambia de negativa a positiva:
\[
f(1)=e.
\]
Hay un mínimo relativo en \(\boxed{(1,e)}\).
4. Esbozo
Representación de \(f(x)=e^x/x\)
La función tiene dos ramas separadas por la asíntota vertical \(x=0\). La rama derecha alcanza un mínimo relativo en \((1,e)\).
Qué debes aprender de este problema
- Un punto excluido del dominio puede separar ramas con comportamientos muy distintos.
- Los límites laterales determinan la asíntota vertical.
- La exponencial positiva permite reducir el signo de la derivada al factor \(x-1\).
- El esbozo final debe respetar simultáneamente asíntotas, signo y monotonía.