E7 – Polinomio con extremos relativos dados
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Calcule los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) para los cuales la función:
\[f(x)=x^3+ax^2+bx+c\]
tiene extremos relativos en \(x=0\) y \(x=2\), y además su gráfica corta al eje de abscisas para \(x=1\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Que haya extremos en \(x=0\) y \(x=2\) implica que la derivada se anula en ambos puntos.
Que la gráfica corte el eje de abscisas en \(x=1\) significa \(f(1)=0\).
Estas tres condiciones permiten determinar los tres parámetros.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Puntos críticos.
- Condición necesaria de extremo.
- Segunda derivada.
- Cortes con los ejes.
Después de hallar los parámetros conviene comprobar que los puntos críticos son realmente extremos.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(f'(x)\) y planteamos \(f'(0)=0\) y \(f'(2)=0\).
Con los valores obtenidos usamos \(f(1)=0\).
Finalmente clasificamos los puntos con \(f''(x)\).
🟣 Resolución paso a paso
Derivamos:
\[f'(x)=3x^2+2ax+b.\]
Como hay un extremo relativo en \(x=0\):
\[f'(0)=b=0.\]
Como también hay un extremo en \(x=2\):
\[f'(2)=12+4a+b=0.\]
Usando \(b=0\):
\[12+4a=0\quad\Longrightarrow\quad a=-3.\]
La gráfica corta el eje de abscisas en \(x=1\), de modo que:
\[f(1)=1+a+b+c=0.\]
Sustituyendo \(a=-3\) y \(b=0\):
\[1-3+c=0\quad\Longrightarrow\quad c=2.\]
Comprobamos los extremos. La segunda derivada es:
\[f''(x)=6x-6.\]
- \(f''(0)=-6<0\): máximo relativo en \(x=0\).
- \(f''(2)=6>0\): mínimo relativo en \(x=2\).
Respuesta: \[\boxed{a=-3,\qquad b=0,\qquad c=2}.\]
Qué debes aprender de este problema
- Los extremos interiores de una función derivable son puntos críticos.
- Un corte con el eje \(OX\) se traduce como \(f(x)=0\).
- Cada condición aporta una ecuación para los parámetros.
- La segunda derivada confirma el tipo de extremo.