E9 – Tipo de automóvil y potencia
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Entre los automóviles que se fabrican de una cierta marca, un \(50\%\) son convencionales —es decir, con motor de gasolina o de gasoil—, un \(30\%\) híbridos y un \(20\%\) eléctricos.
De ellos, un \(70\%\) de los convencionales, un \(80\%\) de los híbridos y un \(85\%\) de los eléctricos tienen potencia menor que \(140\) CV, y el resto tienen potencia mayor o igual que \(140\) CV.
- Calcular la probabilidad de que un coche de esa marca elegido al azar sea convencional con potencia mayor o igual que \(140\) CV. Calcular también la probabilidad de que sea híbrido o eléctrico con potencia mayor o igual que \(140\) CV. (1 punto)
- Si se sabe que el coche elegido tiene al menos \(140\) CV, ¿cuál es la probabilidad de que sea de tipo convencional? (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Definimos los sucesos correspondientes al tipo de automóvil:
- \(C\): “el automóvil es convencional”.
- \(H\): “el automóvil es híbrido”.
- \(E\): “el automóvil es eléctrico”.
- \(A\): “el automóvil tiene al menos \(140\) CV”.
Las probabilidades de los tres tipos son:
\[
P(C)=0{,}50,\qquad
P(H)=0{,}30,\qquad
P(E)=0{,}20
\]
El enunciado proporciona los porcentajes con potencia menor que \(140\) CV. Para obtener las probabilidades de tener al menos \(140\) CV debemos calcular los complementarios:
\[
P(A\mid C)=1-0{,}70=0{,}30
\]
\[
P(A\mid H)=1-0{,}80=0{,}20
\]
\[
P(A\mid E)=1-0{,}85=0{,}15
\]
La expresión “híbrido o eléctrico” representa la unión \(H\cup E\). No representa \(H\cap E\), ya que un automóvil pertenece a un único tipo y no puede ser simultáneamente híbrido y eléctrico en la clasificación del problema.
🔵 Conceptos matemáticos
Este ejercicio utiliza:
- Sucesos incompatibles.
- Probabilidad condicionada.
- Regla del producto.
- Teorema de la probabilidad total.
- Unión de sucesos.
Para calcular la probabilidad de una rama completa utilizamos:
\[
P(C\cap A)=P(C)\,P(A\mid C)
\]
Los sucesos \(C\), \(H\) y \(E\) son incompatibles y forman una partición:
\[
C\cap H=C\cap E=H\cap E=\varnothing
\]
\[
C\cup H\cup E=\Omega
\]
La probabilidad total de tener al menos \(140\) CV es:
\[
P(A)=P(C\cap A)+P(H\cap A)+P(E\cap A)
\]
La probabilidad condicionada que se pide en el segundo apartado se calcula mediante:
\[
P(C\mid A)=\frac{P(C\cap A)}{P(A)}
\]
🟢 Estrategia de resolución
Primero construiremos mentalmente el árbol de probabilidades:
- Primera división: convencional, híbrido o eléctrico.
- Segunda división: potencia menor que \(140\) CV o potencia mayor o igual que \(140\) CV.
Calcularemos las tres ramas correspondientes a automóviles con al menos \(140\) CV:
\[
P(C\cap A),\qquad P(H\cap A),\qquad P(E\cap A)
\]
En el apartado a), la expresión “híbrido o eléctrico” se resolverá sumando las ramas \(H\cap A\) y \(E\cap A\), porque son incompatibles.
En el apartado b), sumaremos las tres ramas para obtener \(P(A)\) y después aplicaremos la fórmula de la probabilidad condicionada.
🟣 Resolución paso a paso
Organización de los datos
Las probabilidades de elegir cada tipo de automóvil son:
\[
P(C)=0{,}50,\qquad
P(H)=0{,}30,\qquad
P(E)=0{,}20
\]
Calculamos las probabilidades condicionadas de tener al menos \(140\) CV:
\[
P(A\mid C)=1-0{,}70=0{,}30
\]
\[
P(A\mid H)=1-0{,}80=0{,}20
\]
\[
P(A\mid E)=1-0{,}85=0{,}15
\]
a) Probabilidades conjuntas
Automóvil convencional con al menos 140 CV
Aplicamos la regla del producto:
\[
P(C\cap A)=P(C)\,P(A\mid C)
\]
\[
P(C\cap A)=0{,}50\cdot0{,}30=0{,}15
\]
Por tanto, la probabilidad de elegir un automóvil convencional con al menos \(140\) CV es:
\[
\boxed{P(C\cap A)=0{,}15=15\%}
\]
Automóvil híbrido o eléctrico con al menos 140 CV
La palabra “o” indica que debemos calcular:
\[
P\bigl((H\cup E)\cap A\bigr)
\]
Distribuimos la intersección:
\[
(H\cup E)\cap A
=
(H\cap A)\cup(E\cap A)
\]
Como un automóvil no puede pertenecer simultáneamente a los tipos híbrido y eléctrico, estas dos ramas son incompatibles y podemos sumar sus probabilidades.
Calculamos primero la rama de los híbridos:
\[
P(H\cap A)
=
P(H)\,P(A\mid H)
=
0{,}30\cdot0{,}20
=
0{,}06
\]
Calculamos la rama de los eléctricos:
\[
P(E\cap A)
=
P(E)\,P(A\mid E)
=
0{,}20\cdot0{,}15
=
0{,}03
\]
Sumamos ambas ramas:
\[
P\bigl((H\cup E)\cap A\bigr)
=
0{,}06+0{,}03
=
0{,}09
\]
Por tanto:
\[
\boxed{
P\bigl((H\cup E)\cap A\bigr)
=0{,}09=9\%
}
\]
b) Probabilidad de que sea convencional sabiendo que tiene al menos 140 CV
Nos piden la probabilidad condicionada:
\[
P(C\mid A)
=
\frac{P(C\cap A)}{P(A)}
\]
Ya conocemos el numerador:
\[
P(C\cap A)=0{,}15
\]
Calculamos \(P(A)\) mediante el teorema de la probabilidad total:
\[
P(A)
=
P(C\cap A)+P(H\cap A)+P(E\cap A)
\]
\[
P(A)
=
0{,}15+0{,}06+0{,}03
=
0{,}24
\]
Sustituimos:
\[
P(C\mid A)
=
\frac{0{,}15}{0{,}24}
=
\frac{15}{24}
=
\frac{5}{8}
=
0{,}625
\]
Resultados finales:
\[
\boxed{
\begin{aligned}
\text{a)}\;&P(C\cap A)=0{,}15\\
&P\bigl((H\cup E)\cap A\bigr)=0{,}09\\
\text{b)}\;&P(C\mid A)=0{,}625=62{,}5\%
\end{aligned}
}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La expresión “híbrido o eléctrico” representa la unión \(H\cup E\).
- La expresión “híbrido y eléctrico” representaría \(H\cap E\), que es imposible en la clasificación del problema.
- Para pasar de “menos de 140 CV” a “al menos 140 CV” se utiliza el suceso complementario.
- La probabilidad de una rama del árbol se obtiene multiplicando.
- Las probabilidades de ramas incompatibles se pueden sumar.
- El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de tener al menos \(140\) CV.
- En una probabilidad condicionada, el suceso conocido pasa a ser el nuevo espacio de referencia.