E5 – Continuidad y derivabilidad por tramos
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Sea la función:
\[
f(x)=\begin{cases}
xe^x,&\text{si }x<0,\\
a\,\operatorname{sen}(x)+b,&\text{si }x\geq0.
\end{cases}
\]
Calcular \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua y derivable en \(0\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El único punto donde puede haber problemas de continuidad o derivabilidad es \(x=0\), donde cambia la expresión de la función.
La continuidad determinará primero el valor de \(b\).
Después igualaremos las derivadas laterales para obtener \(a\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Continuidad de funciones definidas a trozos.
- Límites laterales.
- Derivadas laterales.
- Condición de derivabilidad.
Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en él. Por eso se estudia primero la continuidad.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos el límite por la izquierda y el valor de la rama derecha en \(0\), y los igualamos.
Luego derivamos cada rama y comparamos las derivadas laterales en \(0\).
Los dos requisitos deben cumplirse simultáneamente.
🟣 Resolución paso a paso
Continuidad en \(x=0\)
Por la izquierda:
\[
\lim_{x\to0^-}xe^x=0.
\]
Como la segunda rama incluye \(x=0\):
\[
f(0)=a\operatorname{sen}(0)+b=b.
\]
Para que \(f\) sea continua:
\[
b=0.
\]
Derivabilidad en \(x=0\)
La derivada de la rama izquierda es:
\[
(xe^x)'=e^x+xe^x=e^x(1+x),
\]
por lo que:
\[
f'_-(0)=1.
\]
La derivada de la rama derecha es:
\[
(a\operatorname{sen}x+b)'=a\cos x,
\]
y entonces:
\[
f'_+(0)=a.
\]
Igualando las derivadas laterales:
\[
a=1.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{a=1,\qquad b=0.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En una función a trozos hay que revisar los puntos donde cambia la fórmula.
- La continuidad exige que los límites laterales coincidan con el valor de la función.
- La derivabilidad exige que las derivadas laterales sean iguales.
- Conviene imponer primero la continuidad y después la derivabilidad.