E7 – Límite trigonométrico e integral exponencial
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Calcular:
-
\[
\lim_{x\to0}\frac{\cos(x^2)-1}{\sin^2(x)}
\]
(1 punto) -
\[
\int_0^1 xe^x\,dx
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El ejercicio reúne dos procedimientos del bloque de Análisis.
En el primer apartado debemos calcular un límite trigonométrico. Antes de aplicar ninguna regla, sustituiremos \(x=0\) para identificar la indeterminación.
En el segundo apartado aparece una integral definida de un producto:
\[
xe^x
\]
Primero calcularemos paso a paso la integral indefinida mediante integración por partes. Una vez obtenida la primitiva, aplicaremos la regla de Barrow entre \(0\) y \(1\).
Conviene mantener separados los dos procesos: obtener la primitiva y evaluarla en los extremos.
🔵 Conceptos matemáticos
Los conceptos que vamos a utilizar son:
- Indeterminaciones del tipo \(0/0\).
- Regla de L’Hôpital.
- Regla de la cadena.
- Regla del producto.
- Integración por partes.
- Cálculo de primitivas.
- Regla de Barrow.
Cuando aparece una indeterminación \(0/0\), la regla de L’Hôpital permite estudiar, bajo las condiciones adecuadas:
\[
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
=
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
La fórmula de integración por partes es:
\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du
\]
Si \(F\) es una primitiva de \(f\), la regla de Barrow establece:
\[
\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)
\]
🟢 Estrategia de resolución
Apartado a). Sustituiremos \(x=0\). Al aparecer una indeterminación \(0/0\), aplicaremos L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado. La primera aplicación seguirá produciendo \(0/0\), así que utilizaremos la regla una segunda vez.
Será necesario prestar atención a:
- La regla de la cadena al derivar \(\cos(x^2)\).
- La derivada de \(\sin^2(x)\).
- La regla del producto en la segunda aplicación de L’Hôpital.
Apartado b). Comenzaremos calculando:
\[
\int xe^x\,dx
\]
Elegiremos \(u=x\) y \(dv=e^x dx\). Después de obtener y comprobar la primitiva, aplicaremos Barrow entre \(0\) y \(1\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo del límite mediante la regla de L’Hôpital
Queremos calcular:
\[
L=\lim_{x\to0}\frac{\cos(x^2)-1}{\sin^2(x)}
\]
Paso 1. Comprobar la indeterminación
Sustituimos \(x=0\) en el numerador:
\[
\cos(0^2)-1=\cos(0)-1=1-1=0
\]
Sustituimos \(x=0\) en el denominador:
\[
\sin^2(0)=0
\]
Por tanto, aparece la indeterminación:
\[
\frac{0}{0}
\]
Podemos aplicar la regla de L’Hôpital.
Paso 2. Primera aplicación de L’Hôpital
Derivamos el numerador utilizando la regla de la cadena:
\[
\bigl[\cos(x^2)-1\bigr]'
=
-\sin(x^2)\cdot 2x
=
-2x\sin(x^2)
\]
Derivamos el denominador. Podemos escribirlo como \((\sin x)^2\):
\[
\bigl[\sin^2(x)\bigr]'
=
2\sin(x)\cos(x)
\]
Después de aplicar L’Hôpital:
\[
L=
\lim_{x\to0}
\frac{-2x\sin(x^2)}{2\sin(x)\cos(x)}
\]
Simplificamos el factor \(2\):
\[
L=
\lim_{x\to0}
\frac{-x\sin(x^2)}{\sin(x)\cos(x)}
\]
Volvemos a sustituir \(x=0\):
\[
-0\cdot\sin(0)=0
\]
\[
\sin(0)\cos(0)=0
\]
Seguimos teniendo una indeterminación \(0/0\). Aplicamos L’Hôpital una segunda vez.
Paso 3. Segunda aplicación de L’Hôpital
Derivamos el numerador \(-x\sin(x^2)\) mediante la regla del producto:
\[
\bigl[-x\sin(x^2)\bigr]'
=
-\sin(x^2)-x\cos(x^2)\cdot2x
\]
Por tanto:
\[
\bigl[-x\sin(x^2)\bigr]'
=
-\sin(x^2)-2x^2\cos(x^2)
\]
Derivamos el denominador \(\sin(x)\cos(x)\), también mediante la regla del producto:
\[
\bigl[\sin(x)\cos(x)\bigr]'
=
\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)
\]
Es decir:
\[
\bigl[\sin(x)\cos(x)\bigr]'
=
\cos^2(x)-\sin^2(x)
\]
El límite queda:
\[
L=
\lim_{x\to0}
\frac{-\sin(x^2)-2x^2\cos(x^2)}
{\cos^2(x)-\sin^2(x)}
\]
Ahora sustituimos \(x=0\):
\[
L=
\frac{-\sin(0)-2\cdot0^2\cos(0)}
{\cos^2(0)-\sin^2(0)}
\]
\[
L=
\frac{0}{1}
=0
\]
Por tanto:
\[
\boxed{\displaystyle
\lim_{x\to0}\frac{\cos(x^2)-1}{\sin^2(x)}=0
}
\]
b) Cálculo de la integral definida
Queremos calcular:
\[
\int_0^1 xe^x\,dx
\]
Primero obtendremos una primitiva mediante integración por partes.
Paso 1. Calcular previamente la integral indefinida
Consideramos:
\[
I=\int xe^x\,dx
\]
Utilizamos la fórmula:
\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du
\]
Elegimos:
\[
u=x
\qquad\Longrightarrow\qquad
du=dx
\]
\[
dv=e^x\,dx
\qquad\Longrightarrow\qquad
v=\int e^x\,dx=e^x
\]
Sustituimos en la fórmula de integración por partes:
\[
I=xe^x-\int e^x\,dx
\]
Como:
\[
\int e^x\,dx=e^x
\]
obtenemos:
\[
I=xe^x-e^x+C
\]
Sacamos factor común \(e^x\):
\[
I=e^x(x-1)+C
\]
Por tanto, una primitiva es:
\[
F(x)=e^x(x-1)
\]
La comprobamos derivando:
\[
F'(x)
=
e^x(x-1)+e^x
=
xe^x
\]
La derivada coincide con el integrando.
Paso 2. Aplicar la regla de Barrow
Utilizamos la primitiva obtenida:
\[
\int_0^1 xe^x\,dx=F(1)-F(0)
\]
Calculamos los valores en los extremos:
\[
F(1)=e^1(1-1)=0
\]
\[
F(0)=e^0(0-1)=-1
\]
Aplicamos Barrow:
\[
\int_0^1 xe^x\,dx
=
0-(-1)
=1
\]
Resultados finales:
\[
\boxed{
\begin{aligned}
\text{a)}\;&0\\
\text{b)}\;&1
\end{aligned}
}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Antes de utilizar L’Hôpital hay que comprobar que aparece una indeterminación adecuada.
- La derivada de \(\cos(x^2)\) exige aplicar la regla de la cadena.
- La derivada de \(\sin^2(x)\) es \(2\sin(x)\cos(x)\).
- Si la primera aplicación de L’Hôpital mantiene la indeterminación \(0/0\), puede aplicarse de nuevo.
- En una integral definida conviene obtener primero una primitiva completa.
- La integración por partes transforma \(\int xe^x dx\) en una integral exponencial inmediata.
- La regla de Barrow se aplica al final mediante \(F(b)-F(a)\).
- Derivar la primitiva permite comprobar que la integración por partes es correcta.