E5 – Estudio y representación de una función exponencial
Castilla y León · 2020 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Represente gráficamente la función:
\[
f(x)=xe^x,
\]
calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad, convexidad y asíntotas. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La función es producto de un polinomio y una exponencial, y está definida para todo número real.
La primera derivada determina la monotonía y los extremos.
La segunda derivada determina la curvatura y los puntos de inflexión.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio y límites en el infinito.
- Asíntotas.
- Crecimiento y extremos relativos.
- Concavidad, convexidad e inflexión.
🟢 Estrategia de resolución
Estudiamos el dominio y el comportamiento en \(\pm\infty\).
Calculamos \(f'\) y \(f''\), resolvemos sus ceros y hacemos tablas de signos.
Con la asíntota, el mínimo, el punto de inflexión y el corte con los ejes construimos la gráfica.
🟣 Resolución paso a paso
1. Dominio y asíntotas
La función \(f(x)=xe^x\) está definida y es continua en todo \(\mathbb R\).
Cuando \(x\to+\infty\):
\[
\lim_{x\to+\infty}xe^x=+\infty.
\]
Cuando \(x\to-\infty\), escribimos:
\[
xe^x=\frac{x}{e^{-x}}.
\]
Es una indeterminación \((-\infty)/(+\infty)\). Aplicando L'Hôpital:
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{e^{-x}}
=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-e^{-x}}=0.
\]
Por tanto, existe una asíntota horizontal por la izquierda:
\[
\boxed{y=0\quad\text{cuando }x\to-\infty.}
\]
No hay asíntotas verticales porque el dominio es \(\mathbb R\), ni otras asíntotas horizontales u oblicuas.
2. Crecimiento y extremos
Derivamos:
\[
f'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x).
\]
Como \(e^x>0\), la derivada se anula cuando:
\[
1+x=0
\Rightarrow
x=-1.
\]
- Si \(x<-1\), entonces \(f'(x)<0\): la función decrece.
- Si \(x>-1\), entonces \(f'(x)>0\): la función crece.
En \(x=-1\) hay un mínimo relativo y absoluto:
\[
f(-1)=-\frac{1}{e}.
\]
\[
\boxed{\text{Mínimo en }\left(-1,-\frac{1}{e}\right).}
\]
3. Concavidad, convexidad e inflexión
Calculamos la segunda derivada:
\[
f''(x)=e^x(1+x)+e^x=e^x(x+2).
\]
Se anula en \(x=-2\). Como \(e^x>0\):
- Si \(x<-2\), \(f''(x)<0\): la gráfica es cóncava hacia abajo.
- Si \(x>-2\), \(f''(x)>0\): la gráfica es convexa hacia arriba.
Hay un punto de inflexión en:
\[
f(-2)=-\frac{2}{e^2}.
\]
\[
\boxed{\left(-2,-\frac{2}{e^2}\right).}
\]
La función corta ambos ejes en \((0,0)\).
Representación de (f(x)=xe^x)
La gráfica se aproxima al eje \(OX\) por debajo cuando \(x\to-\infty\), alcanza su mínimo en \(x=-1\), pasa por el origen y crece rápidamente para \(x>0\).
Qué debes aprender de este problema
- La exponencial positiva simplifica el estudio de signos de las derivadas.
- El cambio de signo de \(f'\) determina el mínimo.
- El cambio de signo de \(f''\) determina el punto de inflexión.
- Una asíntota horizontal puede existir solo en uno de los dos infinitos.