E8 – Puntos de corte y área entre dos funciones
Castilla y León · 2020 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se consideran las funciones:
\[
f(x)=\frac{2}{x},
\qquad
g(x)=3-x.
\]
- Calcule los puntos de corte de sus gráficas. (0,5 puntos)
- Sabiendo que en \([1,2]\) se verifica \(g(x)\geq f(x)\), calcule el área del recinto limitado por ambas gráficas en ese intervalo. (1,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Los puntos de corte se obtienen igualando las dos funciones.
En el intervalo \([1,2]\), la función superior es \(g\) y la inferior es \(f\).
El área se calcula integrando \(g(x)-f(x)\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Puntos de intersección.
- Área entre dos curvas.
- Integral de \(1/x\).
- Regla de Barrow.
🟢 Estrategia de resolución
Igualamos \(2/x=3-x\) y resolvemos la ecuación resultante.
Planteamos \(A=\int_1^2(g-f)\,dx\).
Calculamos primero una primitiva y después evaluamos los extremos.
🟣 Resolución paso a paso
a) Puntos de corte
Igualamos las funciones:
\[
\frac{2}{x}=3-x.
\]
Como \(x\neq0\), multiplicamos por \(x\):
\[
2=3x-x^2
\Rightarrow
x^2-3x+2=0.
\]
Factorizamos:
\[
(x-1)(x-2)=0.
\]
Por tanto, \(x=1\) o \(x=2\). Calculamos las ordenadas:
\[
f(1)=2,
\qquad
f(2)=1.
\]
\[
\boxed{(1,2)\quad\text{y}\quad(2,1).}
\]
b) Área entre las gráficas
Como \(g(x)\geq f(x)\) en \([1,2]\):
\[
A=\int_1^2\left[(3-x)-\frac{2}{x}\right]dx.
\]
Calculamos previamente la integral indefinida:
\[
\int\left(3-x-\frac{2}{x}\right)dx
=3x-\frac{x^2}{2}-2\ln|x|+C.
\]
Aplicamos la regla de Barrow:
\[
A=\left[3x-\frac{x^2}{2}-2\ln|x|\right]_1^2.
\]
\[
A=(6-2-2\ln2)-\left(3-\frac{1}{2}-2\ln1\right).
\]
Como \(\ln1=0\):
\[
\boxed{A=\frac{3}{2}-2\ln2\approx0{,}114\text{ unidades cuadradas}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Los puntos de corte se obtienen igualando las expresiones.
- Al eliminar un denominador hay que recordar las restricciones del dominio.
- El área entre curvas es la integral de la función superior menos la inferior.
- La primitiva de \(1/x\) introduce un logaritmo.