E4 – Posición de una recta y un plano
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Dados el plano y la recta:
\[
\pi\equiv3x+3y+mz=3,
\qquad
r\equiv
\begin{cases}
2x-y+3z=1,\\
x-y=2,
\end{cases}
\]
determinar \(m\) para que sean:
- Perpendiculares. (1 punto)
- Paralelos. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La recta \(r\) viene dada como intersección de dos planos, de modo que primero necesitamos calcular un vector director.
El plano \(\pi\) tiene vector normal \((3,3,m)\).
La perpendicularidad y el paralelismo entre recta y plano se traducen en relaciones entre el vector director de la recta y el vector normal del plano.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Vector director de una recta dada como intersección de planos.
- Vector normal de un plano.
- Recta perpendicular a un plano.
- Recta paralela a un plano.
Una recta es perpendicular a un plano cuando su vector director es paralelo al normal del plano.
Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al normal del plano.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos el vector director de \(r\) mediante un producto vectorial.
Para la perpendicularidad, imponemos que ese vector sea proporcional al normal de \(\pi\).
Para el paralelismo, igualamos a cero su producto escalar.
🟣 Resolución paso a paso
Los normales de los planos que definen \(r\) son:
\[
\vec n_1=(2,-1,3),
\qquad
\vec n_2=(1,-1,0).
\]
Por tanto, un vector director de \(r\) es:
\[
\vec v=\vec n_1\times\vec n_2=(3,3,-1).
\]
El vector normal del plano es:
\[
\vec n_{\pi}=(3,3,m).
\]
a) Recta perpendicular al plano
Debe cumplirse que \(\vec v\) y \(\vec n_{\pi}\) sean proporcionales:
\[
(3,3,-1)=\lambda(3,3,m).
\]
Las dos primeras componentes dan \(\lambda=1\). La tercera componente exige:
\[
-1=m.
\]
\[
\boxed{m=-1.}
\]
b) Recta paralela al plano
Ahora imponemos que el vector director sea perpendicular al normal:
\[
\vec v\cdot\vec n_{\pi}=0.
\]
\[
(3,3,-1)\cdot(3,3,m)=9+9-m=0.
\]
Así:
\[
m=18.
\]
Además, por ejemplo, el punto \((-1,-3,0)\) pertenece a \(r\) y no pertenece al plano cuando \(m=18\), pues \(3(-1)+3(-3)=-12\neq3\). Por tanto, la recta no está contenida en el plano.
Respuesta:
\[
\boxed{m=-1\text{ para perpendicularidad},\qquad m=18\text{ para paralelismo}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- No debe confundirse el vector normal del plano con un vector director del plano.
- Recta perpendicular al plano significa director paralelo al normal.
- Recta paralela al plano significa director perpendicular al normal.
- Conviene comprobar que una recta paralela no esté contenida en el plano.