E6 – Extremos e integral de una función racional
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Sea la función:
\[
f(x)=\frac{2x}{(x+1)^2}.
\]
- Calcular los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\). (1 punto)
- Calcular la integral indefinida:
\[
\int \frac{2x}{(x+1)^2}\,dx.
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de estudiar la monotonía debemos tener en cuenta que la función no está definida en \(x=-1\).
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se obtienen estudiando el signo de la derivada.
Para integrar, como el denominador contiene el factor lineal repetido \((x+1)^2\), descompondremos la función racional en fracciones simples.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio de una función racional.
- Derivada y tabla de signos.
- Extremos relativos.
- Descomposición en fracciones simples con un factor lineal repetido.
Un punto crítico sólo es un extremo si la derivada cambia de signo al atravesarlo.
🟢 Estrategia de resolución
Calcularemos \(f'(x)\), localizaremos sus ceros y separaremos también el punto \(x=-1\), que no pertenece al dominio.
Después construiremos la tabla de signos de \(f'\).
En la integral plantearemos \(\frac{2x}{(x+1)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}\) y determinaremos \(A\) y \(B\) comparando coeficientes.
🟣 Resolución paso a paso
a) Crecimiento, decrecimiento y extremos
El dominio es:
\[
D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}.
\]
Derivamos:
\[
f(x)=2x(x+1)^{-2},
\]
\[
f'(x)=2(x+1)^{-2}-4x(x+1)^{-3}.
\]
Sacamos denominador común:
\[
f'(x)=\frac{2(x+1)-4x}{(x+1)^3}
=\frac{2(1-x)}{(x+1)^3}.
\]
La derivada se anula en \(x=1\). Para estudiar su signo separamos los intervalos determinados por \(x=-1\) y \(x=1\):
- Si \(x\in(-\infty,-1)\), entonces \(f'(x)<0\): la función decrece.
- Si \(x\in(-1,1)\), entonces \(f'(x)>0\): la función crece.
- Si \(x\in(1,\infty)\), entonces \(f'(x)<0\): la función decrece.
En \(x=1\), la derivada cambia de positiva a negativa, por lo que existe un máximo relativo. Su valor es:
\[
f(1)=\frac{2}{(1+1)^2}=\frac12.
\]
\[
\boxed{\text{Máximo relativo en }\left(1,\frac12\right).}
\]
No hay mínimos relativos.
b) Integral indefinida mediante fracciones simples
Queremos calcular:
\[
I=\int\frac{2x}{(x+1)^2}\,dx.
\]
El denominador contiene el factor lineal repetido \(x+1\). Por tanto, planteamos la descomposición:
\[
\frac{2x}{(x+1)^2}
=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}.
\]
Multiplicamos toda la igualdad por \((x+1)^2\):
\[
2x=A(x+1)+B.
\]
Desarrollamos el segundo miembro:
\[
2x=Ax+A+B=Ax+(A+B).
\]
Comparamos los coeficientes de \(x\) y los términos independientes:
- Coeficiente de \(x\): \(A=2\).
- Término independiente: \(A+B=0\).
Como \(A=2\), obtenemos:
\[
2+B=0
\quad\Longrightarrow\quad
B=-2.
\]
Así, la fracción queda descompuesta como:
\[
\frac{2x}{(x+1)^2}
=\frac{2}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^2}.
\]
Sustituimos esta descomposición en la integral e integramos término a término:
\[
I=\int\left(\frac{2}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^2}\right)dx.
\]
\[
I=2\int\frac{1}{x+1}\,dx
-2\int(x+1)^{-2}\,dx.
\]
Calculamos las dos primitivas:
\[
\int\frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|,
\]
\[
\int(x+1)^{-2}\,dx
=-(x+1)^{-1}
=-\frac{1}{x+1}.
\]
Por tanto:
\[
I=2\ln|x+1|
-2\left(-\frac{1}{x+1}\right)+C.
\]
\[
\boxed{\int\frac{2x}{(x+1)^2}\,dx
=2\ln|x+1|+\frac{2}{x+1}+C.}
\]
Esta expresión es una primitiva en cada intervalo del dominio, es decir, en \((-\infty,-1)\) y en \((-1,\infty)\).
Qué debes aprender de este problema
- Los puntos que no pertenecen al dominio también separan los intervalos de monotonía.
- El signo de la derivada determina dónde crece y decrece una función.
- Si el denominador contiene un factor lineal repetido \((x+1)^2\), la descomposición debe incluir términos con \(x+1\) y con \((x+1)^2\).
- Después de calcular los coeficientes de las fracciones simples, se integra cada término por separado.