E7 – Continuidad, derivabilidad y recta tangente
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Sea la función:
\[
f(x)=
\begin{cases}
x^2+ax+b, & x\leq0,\\
e^{2x}, & x>0.
\end{cases}
\]
- Calcular \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua y derivable en \(x=0\). (1,5 puntos)
- Para los valores anteriores, hallar la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=1\). (0,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El único punto en el que pueden fallar la continuidad o la derivabilidad es \(x=0\), donde cambia la expresión de la función.
La continuidad determinará \(b\), mientras que la igualdad de las derivadas laterales determinará \(a\).
Como \(1>0\), para la tangente usaremos la rama \(e^{2x}\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Continuidad de una función definida a trozos.
- Derivadas laterales.
- Derivabilidad.
- Ecuación de la recta tangente.
La derivabilidad implica continuidad, pero conviene imponer ambas condiciones de forma ordenada.
🟢 Estrategia de resolución
Igualaremos el valor de la rama izquierda en \(0\) con el límite de la rama derecha.
Después igualaremos las derivadas laterales en ese punto.
Finalmente aplicaremos \(y-f(1)=f'(1)(x-1)\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Continuidad y derivabilidad en \(x=0\)
El valor de la función en \(0\), usando la primera rama, es:
\[
f(0)=b.
\]
El límite por la derecha vale:
\[
\lim_{x\to0^+}e^{2x}=1.
\]
Para que la función sea continua:
\[
b=1.
\]
Calculamos ahora las derivadas de cada rama:
\[
f'(x)=
\begin{cases}
2x+a, & x<0,\\
2e^{2x}, & x>0.
\end{cases}
\]
Las derivadas laterales en \(0\) son:
\[
f'_-(0)=a,
\qquad
f'_+(0)=2.
\]
Para que sea derivable:
\[
a=2.
\]
\[
\boxed{a=2,\qquad b=1.}
\]
b) Recta tangente en \(x=1\)
Como \(1>0\), usamos \(f(x)=e^{2x}\). Por tanto:
\[
f(1)=e^2,
\qquad
f'(1)=2e^2.
\]
La ecuación punto-pendiente de la tangente es:
\[
y-e^2=2e^2(x-1).
\]
Equivalentemente:
\[
\boxed{y=e^2(2x-1).}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En una función a trozos se estudia con especial cuidado el punto de unión.
- La continuidad exige que los límites laterales coincidan con el valor de la función.
- La derivabilidad exige que coincidan las derivadas laterales.
- Para hallar una tangente necesitamos el punto y la pendiente.