E6 – Límite logarítmico y área
Castilla y León · 2022 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcular \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{e^x-1}\). (1 punto)
- Estudiando antes el signo, hallar el área limitada por \(f(x)=x^3-9x\), el eje \(OX\) y \(x\in[0,3]\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Puntos de corte.
- Signo y orden de las funciones.
- Integral definida como área geométrica.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Límite por L’Hôpital
La forma es \(0/0\). Entonces
\[
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{e^x-1}
=\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{e^x}
=\boxed{1}.
\]
b) Área
\[
f(x)=x(x-3)(x+3)\le0\quad\text{en }[0,3].
\]
Por tanto,
\[
A=-\int_0^3(x^3-9x)\,dx
=-\left[\frac{x^4}{4}-\frac{9x^2}{2}\right]_0^3.
\]
\[
A=-\left(\frac{81}{4}-\frac{81}{2}\right)=\boxed{\frac{81}{4}}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- L’Hôpital transforma la indeterminación derivando numerador y denominador.
- Antes de integrar un área hay que estudiar el signo.
- Si la función está bajo el eje, se cambia el signo de la integral.