E10 – Averías de camionetas por marcas
Castilla y León · 2023 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
El \(45\%\) de las camionetas de recogida son de la marca \(C_1\), el \(30\%\) de \(C_2\) y el \(25\%\) de \(C_3\). Sus probabilidades de avería son \(0{,}02\), \(0{,}05\) y \(0{,}04\), respectivamente.
- Indicar las seis probabilidades del enunciado. (0,6 puntos)
- Calcular la probabilidad de avería. (0,7 puntos)
- Sabiendo que una camioneta se ha averiado, calcular la probabilidad de que sea \(C_3\). (0,7 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Definimos \(F\): «la camioneta se avería». Las marcas \(C_1,C_2,C_3\) forman una partición del conjunto de camionetas.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Árbol de probabilidades.
- Probabilidad total.
- Teorema de Bayes.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Datos
\[
P(C_1)=0{,}45,\quad P(C_2)=0{,}30,\quad P(C_3)=0{,}25,
\]
\[
P(F\mid C_1)=0{,}02,\quad P(F\mid C_2)=0{,}05,\quad P(F\mid C_3)=0{,}04.
\]
b) Probabilidad de avería
\[
P(F)=0{,}45\cdot0{,}02+0{,}30\cdot0{,}05+0{,}25\cdot0{,}04
=0{,}009+0{,}015+0{,}010=\boxed{0{,}034}.
\]
c) Probabilidad a posteriori
\[
P(C_3\mid F)=\frac{P(C_3)P(F\mid C_3)}{P(F)}
=\frac{0{,}25\cdot0{,}04}{0{,}034}
=\boxed{\frac5{17}\approx0{,}2941}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Las marcas forman una partición y permiten aplicar probabilidad total.
- Bayes calcula el origen probable de una avería ya observada.
- Conviene conservar varias cifras durante los cálculos.