Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x\to+\infty\), el numerador presenta la forma \(\infty-\infty\). Para resolverla y comparar los órdenes de crecimiento, dividimos numerador y denominador entre \(\sqrt{x}\):

\[
\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}
=\frac{1-\sqrt{x}}
{\sqrt{1+\frac1x}+1}.
\]

Cuando \(x\to+\infty\):

\[
1-\sqrt{x}\longrightarrow-\infty,
\qquad
\sqrt{1+\frac1x}+1\longrightarrow2>0.
\]

Por tanto, el cociente tiende a \(-\infty\).

Resultado:

\[
\boxed{-\infty}
\]