Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{4n+5}{4n+1}\right)^{n/4}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: La base tiende a \(1\) y el exponente a \(+\infty\), por lo que obtenemos \(1^\infty\). Para resolver esta indeterminación, escribimos la base en la forma \(1+u_n\):

\[
\frac{4n+5}{4n+1}
=1+\frac4{4n+1}.
\]

Calculamos el producto del incremento por el exponente:

\[
\frac4{4n+1}\cdot\frac n4
=\frac n{4n+1}.
\]

Dividiendo entre \(n\):

\[
\frac1{4+\frac1n}
\longrightarrow\frac14.
\]

Por el límite notable:

\[
e^{1/4}.
\]

Resultado:

\[
\boxed{e^{1/4}}
\]