Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{(3x+1)^3-(3x-1)^3}{(3x+1)(3x-1)}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x\to+\infty\), el numerador presenta la forma \(\infty-\infty\). Para resolverla, usamos la identidad \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\), con \(a=3x+1\) y \(b=3x-1\):

\[
a-b=2.
\]

Además:

\[
a^2+ab+b^2
=(3x+1)^2+(3x+1)(3x-1)+(3x-1)^2
=27x^2+1.
\]

Por tanto, el numerador es:

\[
2(27x^2+1)=54x^2+2.
\]

El denominador es una diferencia de cuadrados:

\[
(3x+1)(3x-1)=9x^2-1.
\]

El cociente de los coeficientes principales da:

\[
\frac{54}{9}=6.
\]

Resultado:

\[
\boxed{6}
\]