Demuestra: \(\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}=\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}\)

Resolución paso a paso

Partimos del primer miembro y sustituimos \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\):

\[
\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}
=\frac{1+\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}
{1-\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}.
\]

Multiplicamos el numerador y el denominador por \(\cos\alpha\):

\[
\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}.
\]

Con ello obtenemos directamente el segundo miembro:

\[
\boxed{\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}
=\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}}.
\]