Resuelve: \(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\)

Resolución paso a paso

Convertimos la suma en una única razón trigonométrica. Como \(\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), se cumple:

\[
\sin x+\cos x
=\sqrt2\sin(x+45^\circ).
\]

La ecuación se transforma en:

\[
\sqrt2\sin(x+45^\circ)=\sqrt2
\quad\Longrightarrow\quad
\sin(x+45^\circ)=1.
\]

El seno vale \(1\) cuando el ángulo es \(90^\circ+360^\circ k\):

\[
x+45^\circ=90^\circ+360^\circ k.
\]

Despejando:

\[
x=45^\circ+360^\circ k,
\qquad k\in\mathbb Z.
\]

En radianes, \(x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\).

Solución en una vuelta:

\[
\boxed{x=45^\circ=\frac{\pi}{4}}.
\]