Resuelve: \(\begin{cases}\sin x+\sin y=\sqrt3\\\cos x+\cos y=1\end{cases}\)

Resolución paso a paso

Elevamos al cuadrado las dos ecuaciones y sumamos:

\[
(\sin x+\sin y)^2+(\cos x+\cos y)^2=3+1=4.
\]

Desarrollamos y usamos \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\):

\[
2+2(\sin x\sin y+\cos x\cos y)=4.
\]

Reconocemos \(\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\):

\[
\cos(x-y)=1.
\]

En una vuelta, \(x\) e \(y\) representan el mismo ángulo. Sustituimos \(y=x\):

\[
2\sin x=\sqrt3,
\qquad
2\cos x=1.
\]

Por tanto, \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\) y \(\cos x=\frac12\). Ambas condiciones se cumplen simultáneamente en \(x=60^\circ\), por lo que \(y=60^\circ\).

Solución:

\[
\boxed{(x,y)=(60^\circ,60^\circ)
=\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)}.
\]