E2 – Invertibilidad de una matriz y ecuación matricial
Castilla y León · 2021 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea la matriz:
\[
A=
\begin{pmatrix}
n-1&0\\
1&-1
\end{pmatrix}.
\]
- Determinar los valores de \(n\) para los que la matriz \(A^2\) tiene inversa. (1 punto)
- Para \(n=2\), hallar la matriz \(X\) que verifica \(AX+A=2I\), siendo \(I\) la matriz identidad de orden \(2\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
No es necesario calcular primero toda la inversa de \(A^2\): las propiedades del determinante permiten decidir su invertibilidad de forma directa. En el segundo apartado hay que conservar el orden de los factores al despejar \(X\).
🔵 Conceptos matemáticos
- Una matriz cuadrada es invertible si su determinante no es cero.
- Propiedad \(\det(A^2)=(\det A)^2\).
- Despeje de ecuaciones matriciales.
🟢 Estrategia de resolución
Usaremos el determinante para el apartado a). Para \(n=2\), comprobaremos que \(A^{-1}=A\) y multiplicaremos la ecuación por la izquierda por \(A^{-1}\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Valores de \(n\)
La matriz \(A^2\) tiene inversa si y solo si su determinante no se anula. Como:
\[
\det(A^2)=(\det A)^2,
\]
calculamos:
\[
\det A=
\begin{vmatrix}
n-1&0\\
1&-1
\end{vmatrix}
=-(n-1)=1-n.
\]
Por tanto:
\[
\det(A^2)=(1-n)^2.
\]
La condición de invertibilidad es:
\[
(1-n)^2\neq0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\boxed{n\neq1}.
\]
b) Cálculo de \(X\) para \(n=2\)
En este caso:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&0\\
1&-1
\end{pmatrix}.
\]
Comprobamos que:
\[
A^2=
\begin{pmatrix}
1&0\\
1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0\\
1&-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix}
=I.
\]
Luego \(A^{-1}=A\). Despejamos \(X\):
\[
\begin{aligned}
AX+A&=2I,\\
AX&=2I-A,\\
X&=A^{-1}(2I-A).
\end{aligned}
\]
Como \(A^{-1}=A\):
\[
X=A(2I-A)=2A-A^2=2A-I.
\]
Finalmente:
\[
\begin{aligned}
X
&=2
\begin{pmatrix}
1&0\\
1&-1
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix}\\
&=
\boxed{
\begin{pmatrix}
1&0\\
2&-3
\end{pmatrix}}.
\end{aligned}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La potencia \(A^2\) es invertible exactamente cuando \(A\) es invertible.
- En ecuaciones matriciales no se puede alterar el orden de los productos.
- Comprobar si una matriz sencilla es involutiva puede ahorrar el cálculo de la inversa.