E6 – Límite exponencial y trigonométrico por L’Hôpital
Castilla y León · 2021 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Calcular:
\[
\lim_{x\to0}
\frac{e^x-x-\cos(3x)}{\sin^2x}.
\]
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de aplicar ninguna técnica hay que sustituir y reconocer la forma indeterminada. La regla de L’Hôpital se podrá repetir mientras continúe apareciendo un cociente \(0/0\).
🔵 Conceptos matemáticos
- Indeterminación \(0/0\).
- Regla de L’Hôpital.
- Derivadas de funciones exponenciales y trigonométricas compuestas.
🟢 Estrategia de resolución
Comprobaremos la indeterminación, aplicaremos L’Hôpital una primera vez y volveremos a evaluar. Como persistirá \(0/0\), aplicaremos la regla una segunda vez.
🟣 Resolución paso a paso
1. Reconocimiento de la indeterminación
Sustituimos \(x=0\):
\[
e^0-0-\cos0=1-1=0,
\qquad
\sin^20=0.
\]
Por tanto, aparece la indeterminación:
\[
\frac00.
\]
2. Primera aplicación de L’Hôpital
Derivamos numerador y denominador:
\[
(e^x-x-\cos(3x))'=e^x-1+3\sin(3x),
\]
\[
(\sin^2x)'=2\sin x\cos x.
\]
Así:
\[
\lim_{x\to0}
\frac{e^x-x-\cos(3x)}{\sin^2x}
=
\lim_{x\to0}
\frac{e^x-1+3\sin(3x)}{2\sin x\cos x}.
\]
Al sustituir \(x=0\) vuelve a aparecer \(0/0\).
3. Segunda aplicación de L’Hôpital
Derivamos de nuevo:
\[
(e^x-1+3\sin(3x))'=e^x+9\cos(3x),
\]
\[
(2\sin x\cos x)'
=2\cos^2x-2\sin^2x.
\]
Ahora sí podemos sustituir:
\[
\begin{aligned}
\lim_{x\to0}
\frac{e^x+9\cos(3x)}
{2\cos^2x-2\sin^2x}
&=
\frac{1+9}{2-0}\\
&=\boxed{5}.
\end{aligned}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La forma indeterminada debe identificarse antes de elegir el método.
- L’Hôpital puede aplicarse de nuevo si después de derivar continúa apareciendo \(0/0\).
- Al derivar \(\cos(3x)\) hay que aplicar la regla de la cadena.