E6 – Parámetro en un límite trigonométrico
Castilla y León · 2021 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Calcular el valor de \(m>0\) para el cual se verifica:
\[
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(mx)}{x^2}=2.
\]
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El parámetro \(m\) permanece constante al derivar respecto de \(x\). Tras calcular el límite en función de \(m\), se impondrá que su valor sea \(2\).
🔵 Conceptos matemáticos
- Indeterminación \(0/0\).
- Regla de L’Hôpital aplicada dos veces.
- Regla de la cadena y resolución de una ecuación con parámetro.
🟢 Estrategia de resolución
Reconoceremos primero la indeterminación. Aplicaremos L’Hôpital dos veces, obtendremos \(m^2/2\) e impondremos la condición del enunciado, recordando que \(m>0\).
🟣 Resolución paso a paso
1. Reconocimiento de la indeterminación
Al sustituir \(x=0\):
\[
1-\cos(m\cdot0)=0,
\qquad
0^2=0.
\]
Aparece la indeterminación:
\[
\frac00.
\]
2. Primera aplicación de L’Hôpital
Derivamos numerador y denominador:
\[
(1-\cos(mx))'=m\sin(mx),
\qquad
(x^2)'=2x.
\]
Por tanto:
\[
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(mx)}{x^2}
=
\lim_{x\to0}\frac{m\sin(mx)}{2x}.
\]
Al sustituir \(x=0\) continúa apareciendo \(0/0\).
3. Segunda aplicación de L’Hôpital
Derivamos de nuevo:
\[
(m\sin(mx))'=m^2\cos(mx),
\qquad
(2x)'=2.
\]
Así:
\[
\lim_{x\to0}\frac{m^2\cos(mx)}{2}
=\frac{m^2}{2}.
\]
4. Determinación de \(m\)
El límite debe valer \(2\):
\[
\frac{m^2}{2}=2
\quad\Longrightarrow\quad
m^2=4
\quad\Longrightarrow\quad
m=\pm2.
\]
Como el enunciado exige \(m>0\):
\[
\boxed{m=2}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- El parámetro se considera constante al derivar respecto de \(x\).
- La indeterminación debe reconocerse antes de aplicar L’Hôpital.
- La condición \(m>0\) elimina la raíz negativa de la ecuación final.