E9 – Color y material de las bolas de una caja
Castilla y León · 2021 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dentro de una caja hay bolas de varios colores, todas con el mismo tamaño y aspecto, siendo algunas de madera y las otras de metacrilato:
- El \(48\%\) son blancas y, entre ellas, dos tercios son de madera.
- El \(24\%\) son rojas y, de ellas, tres cuartas partes son de madera.
- El \(28\%\) son verdes y, de ellas, la mitad son de madera.
Se consideran los sucesos \(B=\) «ser blanca», \(R=\) «ser roja», \(V=\) «ser verde» y \(M=\) «ser de madera».
- Indicar los valores de \(P(M\mid B)\), \(P(M\mid R)\) y \(P(M\mid V)\). (0,3 puntos)
- Calcular la probabilidad de que una bola elegida al azar sea de madera. (0,7 puntos)
- Sabiendo que una bola elegida al azar es de madera, calcular la probabilidad de que sea blanca. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Los colores forman una partición de la caja. Las fracciones de madera dentro de cada color son probabilidades condicionadas; al combinar las tres ramas se obtiene la probabilidad total de madera.
🔵 Conceptos matemáticos
- Probabilidades condicionadas.
- Teorema de la probabilidad total.
- Teorema de Bayes.
🟢 Estrategia de resolución
Traduciremos primero literalmente los porcentajes y fracciones. Después sumaremos las tres ramas que terminan en madera y usaremos Bayes para invertir la condición.
🟣 Resolución paso a paso
Las probabilidades de los colores son:
\[
P(B)=0{,}48,\qquad
P(R)=0{,}24,\qquad
P(V)=0{,}28.
\]
a) Probabilidades condicionadas
Los datos del enunciado indican directamente:
\[
\boxed{
P(M\mid B)=\frac23,\qquad
P(M\mid R)=\frac34,\qquad
P(M\mid V)=\frac12.}
\]
b) Probabilidad de que sea de madera
Aplicamos el teorema de la probabilidad total:
\[
\begin{aligned}
P(M)
&=P(B)P(M\mid B)+P(R)P(M\mid R)+P(V)P(M\mid V)\\
&=0{,}48\cdot\frac23
+0{,}24\cdot\frac34
+0{,}28\cdot\frac12\\
&=0{,}32+0{,}18+0{,}14\\
&=\boxed{0{,}64}.
\end{aligned}
\]
El \(64\%\) de las bolas son de madera.
c) Probabilidad de ser blanca sabiendo que es de madera
Aplicamos el teorema de Bayes:
\[
\begin{aligned}
P(B\mid M)
&=\frac{P(B\cap M)}{P(M)}\\
&=\frac{P(B)P(M\mid B)}{P(M)}\\
&=\frac{0{,}48\cdot\frac23}{0{,}64}\\
&=\frac{0{,}32}{0{,}64}\\
&=\boxed{0{,}5}.
\end{aligned}
\]
La probabilidad pedida es del \(\boxed{50\%}\).
Qué debes aprender de este problema
- Una frase como «dos tercios de las blancas» expresa una probabilidad condicionada.
- Las categorías blanca, roja y verde permiten aplicar probabilidad total.
- En Bayes, el numerador representa la rama que satisface simultáneamente ambas condiciones.