A1 – Discusión y resolución de un sistema con parámetro
Castilla y León · 2019 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Discuta según los valores de \(m\) el sistema:
\[
\begin{cases}
x+y-z=1,\\
2x+y+mz=4.
\end{cases}
\]
(1 punto) - Resuélvalo para \(m=1\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El sistema tiene dos ecuaciones y tres incógnitas. Hay que comprobar si las dos ecuaciones son independientes para todos los valores del parámetro.
🔵 Conceptos matemáticos
- Rango de una matriz rectangular.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Sistemas compatibles indeterminados.
- Parametrización de soluciones.
🟢 Estrategia de resolución
Buscamos un menor de orden dos independiente de \(m\). Si no se anula, los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada coinciden y valen dos. Después tomamos una incógnita como parámetro libre.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema
Las matrices de coeficientes y ampliada son:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&1&-1\\
2&1&m
\end{pmatrix},
\qquad
A^*=
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&1&-1&1\\
2&1&m&4
\end{array}
\right).
\]
En las dos primeras columnas aparece el menor:
\[
\begin{vmatrix}
1&1\\
2&1
\end{vmatrix}
=-1\neq0.
\]
Por tanto, para cualquier \(m\in\mathbb R\):
\[
\operatorname{rg}(A)=2.
\]
La matriz ampliada solo tiene dos filas, de modo que también \(\operatorname{rg}(A^*)=2\). Como hay tres incógnitas:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3.
\]
\[
\boxed{\text{El sistema es compatible indeterminado para todo }m\in\mathbb R}.
\]
b) Resolución para \(m=1\)
El sistema queda:
\[
\begin{cases}
x+y-z=1,\\
2x+y+z=4.
\end{cases}
\]
Tomamos \(z=t\), con \(t\in\mathbb R\):
\[
\begin{cases}
x+y=1+t,\\
2x+y=4-t.
\end{cases}
\]
Restando la primera ecuación de la segunda:
\[
x=3-2t.
\]
Sustituyendo en \(x+y=1+t\):
\[
y=1+t-(3-2t)=-2+3t.
\]
\[
\boxed{(x,y,z)=(3-2t,-2+3t,t),\qquad t\in\mathbb R}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un menor fijo no nulo permite discutir el sistema sin separar casos.
- Con dos ecuaciones independientes y tres incógnitas queda un parámetro libre.
- La solución paramétrica representa una recta en \(\mathbb R^3\).