Pasteles para un concurso
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
Para un concurso de pasteles, Luis y José preparan cierto número de ellos. El triple de los que prepara Luis más los de José es mayor que 51 y, además, el doble de los de Luis menos los de José es 24. ¿Cuál es la cantidad mínima de pasteles que pueden hacer juntos?
🟠 Comprensión del enunciado
Aparecen dos cantidades desconocidas relacionadas mediante una ecuación y una inecuación. La ecuación permitirá expresar una variable en función de la otra y reducir el problema a una sola incógnita.
🔵 Conceptos matemáticos
- Sistema formado por una ecuación y una inecuación.
- Sustitución.
- Optimización discreta de una cantidad total.
🟢 Estrategia de resolución
Definiremos \(L\) y \(J\) como los pasteles de Luis y José. Despejaremos \(J\) en la igualdad, sustituiremos en la desigualdad y tomaremos el menor valor entero admisible.
🟣 Resolución paso a paso
1. Elección de las incógnitas
Sea \(L\) el número de pasteles de Luis y \(J\) el número de pasteles de José.
2. Planteamiento
El triple de los de Luis más los de José es mayor que \(51\):
\[
3L+J \gt 51
\]
El doble de los de Luis menos los de José es \(24\):
\[
2L-J=24
\]
3. Sustitución
Despejamos \(J\) en la igualdad:
\[
J=2L-24
\]
Sustituimos en la inecuación:
\[
3L+(2L-24) \gt 51
\]
\[
5L-24 \gt 51
\Longrightarrow
5L \gt 75
\Longrightarrow
L \gt 15
\]
4. Valor mínimo e interpretación
El menor número entero posible es \(L=16\). Entonces:
\[
J=2\cdot16-24=8
\]
Entre los dos preparan:
\[
L+J=16+8=24
\]
Comprobación:
\[
3\cdot16+8=56 \gt 51,\qquad
2\cdot16-8=24
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\text{La cantidad mínima es }24\text{ pasteles}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una igualdad puede utilizarse para eliminar una incógnita.
- Al obtener \(L \gt 15\), el menor valor entero posible es \(16\).
- Después de resolver hay que calcular la magnitud pedida: el total \(L+J\), no solo una de las variables.