Resuelve: \(\begin{cases}2x-y+2z=1\\x-z=2\\x-2y+7z=-4\end{cases}\)

Resolución paso a paso

1. Escribimos la matriz ampliada.

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
2&-1&2&1\\
1&0&-1&2\\
1&-2&7&-4
\end{array}
\right)
\]

2. Colocamos el coeficiente \(1\) como primer pivote.

\[
F_1\leftrightarrow F_2
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&-1&2\\
2&-1&2&1\\
1&-2&7&-4
\end{array}
\right)
\]

3. Anulamos los elementos situados debajo del primer pivote.

\[
F_2\longrightarrow F_2-2F_1,\qquad
F_3\longrightarrow F_3-F_1
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&-1&2\\
0&-1&4&-3\\
0&-2&8&-6
\end{array}
\right)
\]

4. Anulamos el término de la segunda columna de la tercera fila.

\[
F_3\longrightarrow F_3-2F_2
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&-1&2\\
0&-1&4&-3\\
0&0&0&0
\end{array}
\right)
\]

La última fila es una identidad, de modo que solo hay dos ecuaciones independientes y una incógnita libre. El sistema es compatible indeterminado.

5. Expresamos las soluciones mediante un parámetro.

Tomamos:

\[
z=\lambda,\qquad \lambda\in\mathbb{R}
\]

De la segunda fila:

\[
-y+4z=-3\Longrightarrow -y+4\lambda=-3
\Longrightarrow y=3+4\lambda
\]

De la primera fila:

\[
x-z=2\Longrightarrow x-\lambda=2
\Longrightarrow x=2+\lambda
\]

Solución:

\[
\boxed{(x,y,z)=(2+\lambda,\,3+4\lambda,\,\lambda),
\qquad \lambda\in\mathbb{R}}
\]