Inversión en tres empresas
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
Juan invierte 12 000 € en acciones de tres empresas A, B y C. En A invierte el doble que en B y C juntas. Tras un año, A se revaloriza un 4 %, B un 5 % y C pierde un 2 %. El beneficio total es de 432,50 €. ¿Cuánto invirtió en cada empresa?
🟠 Comprensión del enunciado
Hay que distinguir el capital invertido del beneficio generado. Una pérdida del 2 % se representa con una contribución negativa al beneficio.
🔵 Conceptos matemáticos
- Sistemas lineales de tres ecuaciones.
- Porcentajes de beneficio y pérdida.
- Modelización financiera elemental.
🟢 Estrategia de resolución
Definiremos las inversiones en A, B y C. Usaremos primero la relación entre el total y la inversión en A para reducir el sistema.
🟣 Resolución paso a paso
1. Elección de incógnitas y planteamiento
Sean \(a\), \(b\) y \(c\) las cantidades invertidas en euros:
\[
\begin{cases}a+b+c=12000\\a=2(b+c)\\0{,}04a+0{,}05b-0{,}02c=432{,}50\end{cases}
\]
2. Cálculo de la inversión en A
Como \(b+c=12000-a\), la segunda ecuación queda:
\[
a=2(12000-a)\Longrightarrow3a=24000\Longrightarrow a=8000
\]
Por tanto, \(b+c=4000\).
3. Reparto entre B y C
Sustituimos \(a=8000\) en la ecuación del beneficio:
\[
320+0{,}05b-0{,}02c=432{,}50
\]
\[
0{,}05b-0{,}02c=112{,}50
\]
Como \(c=4000-b\):
\[
0{,}05b-0{,}02(4000-b)=112{,}50
\]
\[
0{,}07b=192{,}50\Longrightarrow b=2750,\qquad c=1250
\]
4. Comprobación
\[
8000+2750+1250=12000
\]
\[
0{,}04(8000)+0{,}05(2750)-0{,}02(1250)=432{,}50
\]
Respuesta:
\[
\boxed{8000\text{ € en A},\ 2750\text{ € en B y }1250\text{ € en C}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una revalorización aporta un porcentaje positivo y una pérdida, uno negativo.
- La ecuación del beneficio usa solo las ganancias o pérdidas, no los capitales finales.
- Las tres inversiones deben sumar exactamente el capital inicial.