Mezcla de tres aleaciones
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
Disponemos de tres lingotes de aleaciones de los metales A, B y C. El primero contiene un 20 % de A, un 20 % de B y un 60 % de C; el segundo, un 10 % de A, un 40 % de B y un 50 % de C; y el tercero, un 20 % de A, un 40 % de B y un 40 % de C. Queremos elaborar 100 g de una nueva aleación con 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C. ¿Cuántos gramos hay que tomar de cada lingote?
🟠 Comprensión del enunciado
Las composiciones dadas para cada lingote son porcentajes. Si se toman \(x\) gramos del primero, por ejemplo, este aporta \(0{,}20x\) gramos de A, \(0{,}20x\) de B y \(0{,}60x\) de C.
🔵 Conceptos matemáticos
- Sistemas lineales de tres incógnitas.
- Porcentajes y composición de mezclas.
- Conservación de la masa.
🟢 Estrategia de resolución
Definiremos los gramos tomados de cada lingote y plantearemos una ecuación para cada metal. Después resolveremos el sistema eliminando decimales.
🟣 Resolución paso a paso
1. Elección de incógnitas
Sean \(x\), \(y\) y \(z\) los gramos tomados de los lingotes primero, segundo y tercero.
2. Planteamiento por metales
\[
\begin{cases}0{,}20x+0{,}10y+0{,}20z=15\\0{,}20x+0{,}40y+0{,}40z=35\\0{,}60x+0{,}50y+0{,}40z=50\end{cases}
\]
Multiplicamos por \(10\) para evitar decimales:
\[
\begin{cases}2x+y+2z=150\\2x+4y+4z=350\\6x+5y+4z=500\end{cases}
\]
3. Eliminación
Restamos la primera ecuación a la segunda:
\[
3y+2z=200
\]
Restamos tres veces la primera a la tercera:
\[
2y-2z=50\Longrightarrow y-z=25
\]
Como \(y=z+25\), sustituimos:
\[
3(z+25)+2z=200\Longrightarrow5z=125\Longrightarrow z=25
\]
\[
y=50,\qquad2x+50+50=150\Longrightarrow x=25
\]
4. Comprobación
Los gramos suman \(25+50+25=100\). Las aportaciones de A son \(5+5+5=15\) g; las de B, \(5+20+10=35\) g; y las de C, \(15+25+10=50\) g.
Respuesta:
\[
\boxed{25\text{ g del primero},\ 50\text{ g del segundo y }25\text{ g del tercero}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En problemas de mezclas, cada aporte es «cantidad tomada × proporción».
- Multiplicar todas las ecuaciones por una misma potencia de diez simplifica los cálculos.
- La suma de las masas de cada metal debe coincidir con la composición final.