Descompón en fracciones simples: \(\frac{4x^2-8x+1}{x^3-x+6}\)

Resolución paso a paso

Factorizamos el denominador. Como \(x=-2\) es una raíz:

\[
x^3-x+6=(x+2)(x^2-2x+3).
\]

El factor cuadrático es irreducible en \(\mathbb R\). Planteamos:

\[
\frac{4x^2-8x+1}{(x+2)(x^2-2x+3)}
=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+3}.
\]

Multiplicamos por el denominador:

\[
4x^2-8x+1=A(x^2-2x+3)+(Bx+C)(x+2).
\]

Si \(x=-2\), \(33=11A\), luego \(A=3\). Comparamos después coeficientes:

\[
3+B=4\Rightarrow B=1,\qquad
-6+2B+C=-8\Rightarrow C=-4.
\]

Resultado:

\[
\boxed{\frac3{x+2}+\frac{x-4}{x^2-2x+3}}
\]