E10 – IMC y distribución normal
Castilla y León · 2018 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
El IMC de las personas adultas de un país sigue una distribución normal de media \(26\) y desviación típica \(6\). Si tener un IMC superior a \(35\) significa ser obeso, encuentre la proporción de personas adultas obesas de ese país. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Hay que tipificar el valor \(35\) para convertir la variable normal dada en una normal estándar y consultar la probabilidad de la cola derecha.
🔵 Conceptos matemáticos
- Distribución normal.
- Tipificación de una variable.
- Simetría de la normal estándar.
- Probabilidad de una cola.
🟢 Estrategia de resolución
Definimos la variable, tipificamos el umbral y calculamos la cola derecha como el complementario de la función de distribución.
🟣 Resolución paso a paso
Sea
\[
X\sim N(26,6).
\]
Buscamos \(P(X\gt35)\). Tipificamos:
\[
Z=\frac{X-26}{6}.
\]
\[
P(X\gt35)
=P\left(Z\gt\frac{35-26}{6}\right)
=P(Z\gt1{,}5).
\]
Usando la tabla de la normal estándar:
\[
\Phi(1{,}5)=0{,}9332.
\]
Por tanto:
\[
P(Z\gt1{,}5)
=1-\Phi(1{,}5)
=1-0{,}9332
=0{,}0668.
\]
\[
\boxed{P(X\gt35)=0{,}0668\approx6{,}68\%.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La tipificación transforma cualquier normal en una \(N(0,1)\).
- Una probabilidad a la derecha se calcula con \(1-\Phi(z)\).
- La proporción puede expresarse como probabilidad decimal o porcentaje.