E9 – Límite por L’Hôpital e integral logarítmica
Castilla y León · 2018 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcule
\[
\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cos x}{\ln(1+x)}.
\]
(1 punto) - Calcule
\[
\int\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx.
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El límite presenta una indeterminación \(0/0\) y se resuelve con L’Hôpital. En la integral, la derivada de \(\ln x\) aparece como factor.
🔵 Conceptos matemáticos
- Regla de L’Hôpital.
- Derivadas exponenciales, trigonométricas y logarítmicas.
- Integración por cambio de variable.
- Dominio del logaritmo.
🟢 Estrategia de resolución
Verificamos la indeterminación y derivamos numerador y denominador. Para la integral hacemos el cambio \(u=\ln x\) y deshacemos después la sustitución.
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo del límite
Al sustituir \(x=0\):
\[
e^0-\cos0=1-1=0,
\qquad
\ln(1+0)=0.
\]
Tenemos una indeterminación \(0/0\), por lo que aplicamos L’Hôpital:
\[
\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cos x}{\ln(1+x)}
=
\lim_{x\to0}
\frac{e^x+\sin x}{\frac1{1+x}}.
\]
Multiplicamos por \(1+x\):
\[
=\lim_{x\to0}(1+x)(e^x+\sin x)
=1\cdot(1+0)=1.
\]
\[
\boxed{1}
\]
b) Cálculo de la primitiva
La expresión está definida para \(x\gt0\). Hacemos el cambio:
\[
u=\ln x,
\qquad
du=\frac{dx}{x}.
\]
La integral queda:
\[
\int\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx
=\int u^2\,du
=\frac{u^3}{3}+C.
\]
Deshacemos el cambio:
\[
\boxed{\int\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx
=\frac{(\ln x)^3}{3}+C,\qquad x\gt0.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- L’Hôpital solo se aplica después de comprobar la indeterminación.
- Cuando aparece \(dx/x\), suele ser útil el cambio \(u=\ln x\).
- La constante de integración se añade al final de la primitiva.