A1 – Planteamiento y resolución de un sistema indeterminado
Castilla y León · 2018 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Tres números \(x\), \(y\), \(z\) cumplen:
- El primero, \(x\), es la suma de los otros dos.
- El segundo, \(y\), es la mitad del primero más el triple del tercero.
- Demuestre que hay infinitas ternas que cumplen estas condiciones y obtenga una expresión general de la solución. (1,5 puntos)
- Encuentre tres números concretos que las cumplan. (0,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Las dos relaciones producen un sistema lineal homogéneo con dos ecuaciones y tres incógnitas. Una incógnita quedará libre.
🔵 Conceptos matemáticos
- Traducción de condiciones a ecuaciones.
- Sistemas homogéneos.
- Rango de una matriz.
- Método de Gauss y solución paramétrica.
🟢 Estrategia de resolución
Planteamos el sistema, formamos la matriz ampliada y aplicamos Gauss. La fila no nula final deja una variable libre, lo que demuestra que existen infinitas soluciones.
🟣 Resolución paso a paso
a) Solución general
Traducimos las condiciones:
\[
x=y+z,
\qquad
y=\frac{x}{2}+3z.
\]
Las escribimos en forma lineal:
\[
\begin{cases}
x-y-z=0,\\
x-2y+6z=0.
\end{cases}
\]
La matriz ampliada es:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&-1&0\\
1&-2&6&0
\end{array}
\right).
\]
Aplicamos Gauss:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&-1&0\\
1&-2&6&0
\end{array}
\right)
\xrightarrow{F_2\leftarrow F_2-F_1}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&-1&0\\
0&-1&7&0
\end{array}
\right).
\]
La segunda fila da:
\[
-y+7z=0
\quad\Longrightarrow\quad
y=7z.
\]
La primera ecuación da:
\[
x-y-z=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=y+z=8z.
\]
Tomamos \(z=t\), con \(t\in\mathbb R\):
\[
\boxed{(x,y,z)=(8t,7t,t),\quad t\in\mathbb R.}
\]
El parámetro \(t\) puede tomar infinitos valores, por lo que existen infinitas ternas.
b) Una terna concreta
Por ejemplo, tomando \(t=1\):
\[
\boxed{(x,y,z)=(8,7,1).}
\]
Comprobación:
\[
8=7+1,
\qquad
7=\frac82+3\cdot1=4+3.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un sistema homogéneo siempre tiene al menos la solución trivial.
- Si hay menos pivotes que incógnitas, aparecen variables libres.
- La solución paramétrica permite obtener infinitas soluciones concretas.