A2 – Intersección y perpendicularidad entre rectas y planos
Castilla y León · 2018 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dados el plano
\[
\pi\equiv2x+y+z-3=0
\]
y la recta
\[
r\equiv
\begin{cases}
x+y+z=0,\\
x-y+z=2,
\end{cases}
\]
- Calcule el punto de intersección de \(\pi\) y \(r\). (1 punto)
- Encuentre la recta \(s\), contenida en \(\pi\), que corta perpendicularmente a \(r\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Primero necesitamos el punto común de la recta y el plano. La dirección de la recta buscada debe ser perpendicular simultáneamente a la dirección de \(r\) y a la normal de \(\pi\).
🔵 Conceptos matemáticos
- Recta como intersección de dos planos.
- Intersección de recta y plano.
- Producto vectorial.
- Perpendicularidad en el espacio.
🟢 Estrategia de resolución
Parametrizamos \(r\), la sustituimos en \(\pi\) y obtenemos el punto de corte. Después usamos un producto vectorial para hallar la dirección de \(s\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Punto de intersección
Restamos las dos ecuaciones que definen \(r\):
\[
(x+y+z)-(x-y+z)=0-2
\quad\Longrightarrow\quad
2y=-2
\quad\Longrightarrow\quad
y=-1.
\]
Entonces \(x+z=1\). Tomamos \(z=t\):
\[
r\equiv(1-t,-1,t)
=(1,-1,0)+t(-1,0,1).
\]
Sustituimos en el plano:
\[
2(1-t)-1+t-3=0.
\]
\[
-t-2=0
\quad\Longrightarrow\quad
t=-2.
\]
\[
\boxed{P=\pi\cap r=(3,-1,-2).}
\]
b) Recta contenida en \(\pi\) y perpendicular a \(r\)
Los vectores relevantes son:
\[
\vec n_\pi=(2,1,1),
\qquad
\vec v_r=(-1,0,1).
\]
La dirección \(\vec v_s\) debe ser perpendicular a ambos, por lo que tomamos:
\[
\vec v_s=\vec n_\pi\times\vec v_r
=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
2&1&1\\
-1&0&1
\end{vmatrix}
=(1,-3,1).
\]
La recta \(s\) pasa por el punto común \(P\):
\[
\boxed{s\equiv(3,-1,-2)+\mu(1,-3,1),\quad\mu\in\mathbb R.}
\]
Comprobamos:
\[
(1,-3,1)\cdot(2,1,1)=0,
\qquad
(1,-3,1)\cdot(-1,0,1)=0.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una recta contenida en un plano tiene dirección perpendicular a la normal del plano.
- Dos rectas perpendiculares deben tener producto escalar nulo.
- El producto vectorial produce una dirección perpendicular a dos vectores dados.