B2 – Recta contenida o perpendicular a un plano
Castilla y León · 2018 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dados el plano
\[
\pi\equiv ax+y-z+b=0
\]
y la recta
\[
r\equiv\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{1},
\]
- Encuentre \(a\) y \(b\) para que \(r\) esté contenida en \(\pi\). (1 punto)
- Determine si existen \(a\) y \(b\) para que \(r\) sea perpendicular a \(\pi\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Para que una recta esté contenida en un plano, un punto de la recta debe pertenecer al plano y su dirección debe ser paralela a él. Para la perpendicularidad, la dirección debe ser paralela a la normal.
🔵 Conceptos matemáticos
- Ecuación continua de una recta.
- Vector normal de un plano.
- Pertenencia y paralelismo.
- Perpendicularidad entre recta y plano.
🟢 Estrategia de resolución
Extraemos un punto y el vector director de \(r\). En el primer apartado imponemos dos condiciones; en el segundo, la proporcionalidad entre el director y la normal.
🟣 Resolución paso a paso
De la ecuación de la recta obtenemos:
\[
P=(1,2,3),
\qquad
\vec v_r=(1,-1,1).
\]
El vector normal del plano es:
\[
\vec n_\pi=(a,1,-1).
\]
a) Recta contenida en el plano
Para que \(r\subset\pi\) deben cumplirse:
- \(P\in\pi\).
- \(\vec v_r\cdot\vec n_\pi=0\).
La perpendicularidad de los vectores da:
\[
(1,-1,1)\cdot(a,1,-1)
=a-1-1
=a-2=0.
\]
\[
a=2.
\]
Imponemos que \(P\) pertenezca al plano:
\[
a\cdot1+2-3+b=0.
\]
Con \(a=2\):
\[
2+2-3+b=0
\quad\Longrightarrow\quad
b=-1.
\]
\[
\boxed{a=2,\qquad b=-1.}
\]
b) Recta perpendicular al plano
Debe cumplirse \(\vec n_\pi=\lambda\vec v_r\):
\[
(a,1,-1)=\lambda(1,-1,1).
\]
De la segunda coordenada:
\[
1=-\lambda
\quad\Longrightarrow\quad
\lambda=-1.
\]
Entonces:
\[
a=\lambda=-1,
\]
y la tercera coordenada también se verifica: \(-1=\lambda\cdot1\).
El valor de \(b\) solo desplaza el plano paralelamente y no cambia su normal, por lo que puede ser cualquiera:
\[
\boxed{a=-1,\qquad b\in\mathbb R.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La contención exige una condición de dirección y otra de pertenencia.
- La perpendicularidad entre recta y plano depende solo de sus vectores.
- El término independiente del plano no modifica su orientación.