A4 – Límite por L’Hôpital y área entre parábolas
Castilla y León · 2017 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcule
\[
\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{x^2}}{x}.
\] - Halle el área de la región comprendida entre las gráficas de \(f(x)=-x^2\) y \(g(x)=x^2-2\).
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
El límite presenta una indeterminación \(0/0\). Para el área, primero hay que hallar los dos puntos de corte y decidir qué parábola queda arriba.
🔵 Conceptos matemáticos
- Regla de L’Hôpital.
- Derivada de una función compuesta.
- Puntos de corte entre curvas.
- Área mediante integral definida.
🟢 Estrategia de resolución
Aplicamos L’Hôpital detallando la derivada de \(e^{x^2}\). Para el área resolvemos \(f(x)=g(x)\), integramos \(f-g\) y usamos la simetría solo como comprobación.
🟣 Resolución paso a paso
a) Límite
Al sustituir \(x=0\) obtenemos:
\[
\frac{e^0-e^0}{0}=\frac00.
\]
Podemos aplicar L’Hôpital. Derivamos numerador y denominador:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^x-e^{x^2}\right)
=e^x-2xe^{x^2},
\qquad
\frac{d}{dx}(x)=1.
\]
Por tanto:
\[
\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{x^2}}{x}
&=\lim_{x\to0}\left(e^x-2xe^{x^2}\right)\\
&=1-0=1.
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{x^2}}{x}=1.}
\]
b) Área entre las parábolas
Calculamos los puntos de corte:
\[
-x^2=x^2-2
\quad\Longrightarrow\quad
2x^2=2
\quad\Longrightarrow\quad
x=\pm1.
\]
Para \(x=0\):
\[
f(0)=0,\qquad g(0)=-2,
\]
por lo que \(f\) está por encima de \(g\) en \([-1,1]\).
Calculamos una primitiva de la diferencia:
\[
\int\left[-x^2-(x^2-2)\right]dx
=\int(2-2x^2)\,dx
=2x-\frac{2x^3}{3}+C.
\]
Aplicamos Barrow:
\[
\begin{aligned}
A
&=\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx\\
&=\left[2x-\frac{2x^3}{3}\right]_{-1}^{1}\\
&=\left(2-\frac23\right)-\left(-2+\frac23\right)
=\frac83.
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{A=\frac83\ \text{unidades}^2.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Al derivar \(e^{x^2}\) hay que aplicar la regla de la cadena.
- El área se obtiene integrando la función superior menos la inferior.
- La simetría respecto del eje \(Y\) permite comprobar el resultado integrando de \(0\) a \(1\) y duplicando.