5.1 – Área bajo la función logarítmica
Madrid · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea la función:
\[
f(x)=\ln(x).
\]
Halle el área de la región acotada por la gráfica de \(f(x)\), el eje de abscisas y la recta \(x=e\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Para determinar los límites de integración, buscamos el punto en el que la gráfica corta al eje de abscisas:
\[
\ln(x)=0.
\]
La otra frontera vertical es la recta \(x=e\).
En el intervalo comprendido entre ambas rectas, \(\ln(x)\geq0\), por lo que el área coincide con la integral definida de la función.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Área bajo una curva.
- Integral definida.
- Integración por partes.
- Regla de Barrow.
La fórmula de integración por partes es \(\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\).
🟢 Estrategia de resolución
Resolvemos \(\ln(x)=0\) para obtener el extremo izquierdo de la región.
Planteamos el área como:
\[
\int_1^e\ln(x)\,dx.
\]
La primitiva de \(\ln(x)\) se calcula por partes tomando \(u=\ln(x)\) y \(dv=dx\).
Después aplicamos la regla de Barrow en los extremos \(1\) y \(e\).
🟣 Resolución paso a paso
1. Límites de la región
La gráfica corta al eje de abscisas cuando:
\[
\ln(x)=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=1.
\]
La región está comprendida entre \(x=1\) y \(x=e\). Como \(\ln(x)\geq0\) en \([1,e]\), su área es:
\[
A=\int_1^e\ln(x)\,dx.
\]
2. Integración por partes
Aplicamos la fórmula:
\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du.
\]
Elegimos:
\[
u=\ln(x),
\qquad
dv=dx.
\]
Calculamos la diferencial de \(u\) y una primitiva de \(dv\):
\[
du=\frac1x\,dx,
\qquad
v=x.
\]
Sustituimos en la fórmula:
\[
\begin{aligned}
\int\ln(x)\,dx
&=x\ln(x)-\int x\cdot\frac1x\,dx\\
&=x\ln(x)-\int1\,dx\\
&=x\ln(x)-x+C.
\end{aligned}
\]
3. Aplicación de la regla de Barrow
\[
\begin{aligned}
A
&=\left[x\ln(x)-x\right]_1^e\\
&=\bigl(e\ln(e)-e\bigr)-\bigl(1\ln(1)-1\bigr)\\
&=(e-e)-(0-1)\\
&=1.
\end{aligned}
\]
Respuesta: el área de la región es \(\boxed{1}\) unidad cuadrada.
Qué debes aprender de este problema
- Los puntos de corte con el eje de abscisas ayudan a fijar los límites del área.
- Si la función es no negativa, el área coincide directamente con la integral definida.
- La primitiva de \(\ln(x)\) se obtiene mediante integración por partes.
- Conviene sustituir los extremos paso a paso para evitar errores con \(\ln(1)=0\).