2 – Optimización de áreas en una bandera
Madrid · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Un diseñador gráfico propone una bandera usando los colores verde, blanco y rojo. Para ello considera un rectángulo de base \(8\) y altura \(2\), toma como origen de coordenadas el extremo inferior izquierdo del rectángulo y los lados izquierdo e inferior están sobre los ejes coordenados \(OY\) y \(OX\), respectivamente.
En el rectángulo descrito traza la curva de ecuación \(y=2-\sqrt[3]{x}\), que va del vértice superior izquierdo al vértice inferior derecho. La parte del rectángulo que queda por encima de la curva será blanca.
Para la parte que queda por debajo de la curva, toma un nuevo rectángulo con el vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas y el superior derecho en la curva. Ese rectángulo sería verde y lo que queda sería rojo.
Calcule el área que ocupa cada color en esta bandera si el diseñador quiere que el área roja sea la menor posible. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La bandera completa tiene área \(8\cdot2=16\).
La curva separa una zona blanca, situada por encima, de una zona inferior de área fija.
Si el vértice superior derecho del rectángulo verde es:
\[
(x,,2-\sqrt[3]{x}),\qquad 0\le x\le8,
\]
su base es \(x\) y su altura es \(2-\sqrt[3]{x}\).
Minimizar el rojo equivale a maximizar el rectángulo verde dentro de la región situada bajo la curva.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Área entre dos curvas mediante una integral definida.
- Función objetivo de un problema de optimización.
- Puntos críticos y estudio del máximo.
- Comprobación de las áreas parciales.
La función que debemos maximizar es el producto de la base por la altura del rectángulo verde.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos primero el área blanca integrando la distancia entre la recta \(y=2\) y la curva.
Después calculamos el área total bajo la curva. Esa zona se divide en verde y rojo.
Definimos:
\[
V(x)=x(2-\sqrt[3]{x})
\]
Maximizamos \(V(x)\). Finalmente, el área roja mínima será el área bajo la curva menos el máximo de \(V\).
🟣 Resolución paso a paso
1. Área blanca
Entre \(y=2\) y \(y=2-\sqrt[3]{x}\) la diferencia de alturas es \(\sqrt[3]{x}\). Por tanto:
\[
A_B=\int_0^8 \sqrt[3]{x}\,dx
=\left[\frac{3}{4}x^{4/3}\right]_0^8
=\frac{3}{4}\cdot16=12.
\]
El área situada bajo la curva es:
\[
A_{\text{inferior}}=16-12=4.
\]
2. Maximización del área verde
El área del rectángulo verde es:
\[
V(x)=x(2-\sqrt[3]{x})=2x-x^{4/3},\qquad 0\le x\le8.
\]
Derivamos:
\[
V'(x)=2-\frac{4}{3}x^{1/3}.
\]
Buscamos el punto crítico:
\[
2-\frac{4}{3}x^{1/3}=0
\quad\Longrightarrow\quad
x^{1/3}=\frac{3}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
x=\frac{27}{8}.
\]
La altura correspondiente es:
\[
y=2-\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=2-\frac{3}{2}=\frac12.
\]
Como (V') cambia de positiva a negativa, obtenemos el máximo. El área verde es:
\[
A_V=\frac{27}{8}\cdot\frac12=\frac{27}{16}.
\]
3. Área roja mínima
\[
A_R=A_{\text{inferior}}-A_V
=4-\frac{27}{16}
=\frac{37}{16}.
\]
La comprobación del área total es:
\[
12+\frac{27}{16}+\frac{37}{16}=16.
\]
Respuesta: área blanca \(\boxed{12}\), área verde \(\boxed{\dfrac{27}{16}}\) y área roja mínima \(\boxed{\dfrac{37}{16}}\).
Qué debes aprender de este problema
- Antes de optimizar conviene identificar qué áreas son fijas y cuál depende de una variable.
- Minimizar el área sobrante equivale aquí a maximizar el rectángulo inscrito.
- Las coordenadas de un punto de una curva proporcionan directamente la base y la altura del rectángulo.
- La suma de las tres áreas debe coincidir con el área total de la bandera.