4.2 – Cubo con una cara en un plano
Madrid · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se consideran el punto \(P(1,2,1)\) y el plano de ecuación \(2x-2y+z=1\). Se traza un cubo con una cara en el plano y un vértice en el punto \(P\).
- Determine la longitud del lado de dicho cubo y su volumen. (1 punto)
- Halle otro vértice del cubo. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El punto \(P\) no pertenece al plano, pues:
\[
2\cdot1-2\cdot2+1=-1\neq1.
\]
En un cubo, las aristas que unen dos caras opuestas son perpendiculares a esas caras.
Por ello, la distancia de \(P\) al plano es la longitud de la arista. La proyección ortogonal de \(P\) sobre el plano es, además, otro vértice del cubo.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Vector normal de un plano.
- Distancia de un punto a un plano.
- Proyección ortogonal de un punto.
- Volumen de un cubo.
Para \(\pi:Ax+By+Cz+D=0\), la distancia desde \(P(x_0,y_0,z_0)\) es \(\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
🟢 Estrategia de resolución
Escribimos el plano como:
\[
2x-2y+z-1=0
\]
y usamos su vector normal \(\vec n=(2,-2,1)\).
Calculamos la distancia de \(P\) al plano para obtener el lado y elevamos al cubo para hallar el volumen.
Para el segundo apartado, proyectamos \(P\) sobre el plano siguiendo la dirección normal.
🟣 Resolución paso a paso
a) Lado y volumen
La distancia de \(P(1,2,1)\) al plano es:
\[
d(P,\pi)=
\frac{|2\cdot1-2\cdot2+1-1|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}
=\frac{|-2|}{3}
=\frac23.
\]
Por tanto, la longitud del lado es:
\[
\boxed{l=\frac23}.
\]
El volumen del cubo vale:
\[
\boxed{V=l^3=\left(\frac23\right)^3=\frac{8}{27}}.
\]
b) Otro vértice del cubo
La proyección ortogonal \(Q\) de \(P\) sobre el plano se calcula mediante:
\[
Q=P-\frac{2\cdot1-2\cdot2+1-1}{2^2+(-2)^2+1^2}(2,-2,1).
\]
Como el numerador es \(-2\):
\[
\begin{aligned}
Q&=(1,2,1)+\frac{2}{9}(2,-2,1)\\
&=\left(\frac{13}{9},\frac{14}{9},\frac{11}{9}\right).
\end{aligned}
\]
Se comprueba que \(Q\) pertenece al plano y que \(PQ=2/3\).
Respuesta: otro vértice del cubo es \(\boxed{Q\left(\dfrac{13}{9},\dfrac{14}{9},\dfrac{11}{9}\right)}\).
Qué debes aprender de este problema
- La distancia entre dos caras opuestas de un cubo coincide con la longitud de su arista.
- El vector normal indica la dirección perpendicular al plano.
- La proyección ortogonal proporciona el vértice correspondiente de la cara apoyada en el plano.
- Conviene verificar que el punto proyectado satisface la ecuación del plano.