5.2 – Integral con parámetro

Resolución paso a paso

Queremos hallar el valor de \(a\) que cumple:

\[
\int_0^{\pi/3}(x-a)\operatorname{sen}(3x)\,dx
=\frac{2\pi}{9}.
\]

1. Cálculo previo de la primitiva por partes

Antes de utilizar los extremos de integración, calculamos la integral indefinida:

\[
I=\int (x-a)\operatorname{sen}(3x)\,dx.
\]

Es un producto de una expresión polinómica, \(x-a\), por una función trigonométrica. Aplicamos la fórmula de integración por partes:

\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du.
\]

Elegimos:

\[
u=x-a,
\qquad
dv=\operatorname{sen}(3x)\,dx.
\]

Derivamos \(u\):

\[
du=dx,
\]

porque \(a\) es una constante.

Ahora calculamos \(v\):

\[
v=\int\operatorname{sen}(3x)\,dx.
\]

Para verlo con detalle, hacemos el cambio de variable:

\[
t=3x,
\qquad
dt=3\,dx,
\qquad
dx=\frac{dt}{3}.
\]

Entonces:

\[
\begin{aligned}
v
&=\int\operatorname{sen}(3x)\,dx\\[4pt]
&=\frac13\int\operatorname{sen}(t)\,dt\\[4pt]
&=-\frac13\cos(t)\\[4pt]
&=-\frac13\cos(3x).
\end{aligned}
\]

Ya tenemos todos los elementos necesarios:

\[
u=x-a,
\qquad
du=dx,
\qquad
v=-\frac{\cos(3x)}{3}.
\]

Aplicamos la fórmula \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\):

\[
\begin{aligned}
I
&=(x-a)\left(-\frac{\cos(3x)}{3}\right)
-\int\left(-\frac{\cos(3x)}{3}\right)dx\\[6pt]
&=-\frac{(x-a)\cos(3x)}{3}
+\frac13\int\cos(3x)\,dx.
\end{aligned}
\]

La integral que queda es inmediata:

\[
\int\cos(3x)\,dx=\frac13\operatorname{sen}(3x).
\]

Sustituimos este resultado:

\[
\begin{aligned}
I
&=-\frac{(x-a)\cos(3x)}{3}
+\frac13\left(\frac13\operatorname{sen}(3x)\right)\\[6pt]
&=-\frac{(x-a)\cos(3x)}{3}
+\frac{\operatorname{sen}(3x)}{9}+C.
\end{aligned}
\]

Por tanto, una primitiva es:

\[
\boxed{
F(x)=-\frac{(x-a)\cos(3x)}{3}
+\frac{\operatorname{sen}(3x)}{9}
}
\]

2. Comprobación de la primitiva

Comprobamos el resultado derivando. Para el primer término utilizamos la regla del producto:

\[
\begin{aligned}
F'(x)
&=-\frac13\left(\cos(3x)-3(x-a)\operatorname{sen}(3x)\right)
+\frac13\cos(3x)\\[4pt]
&=-\frac13\cos(3x)
+(x-a)\operatorname{sen}(3x)
+\frac13\cos(3x)\\[4pt]
&=(x-a)\operatorname{sen}(3x).
\end{aligned}
\]

Los términos con \(\cos(3x)\) se anulan, así que la primitiva es correcta.

3. Aplicación de la regla de Barrow

Aplicamos ahora la regla de Barrow:

\[
\int_0^{\pi/3}(x-a)\operatorname{sen}(3x)\,dx
=F\left(\frac{\pi}{3}\right)-F(0).
\]

Calculamos primero el valor en el extremo superior. Como:

\[
\cos(\pi)=-1,
\qquad
\operatorname{sen}(\pi)=0,
\]

tenemos:

\[
\begin{aligned}
F\left(\frac{\pi}{3}\right)
&=-\frac{\left(\dfrac{\pi}{3}-a\right)\cos(\pi)}{3}
+\frac{\operatorname{sen}(\pi)}{9}\\[6pt]
&=\frac{\dfrac{\pi}{3}-a}{3}\\[6pt]
&=\frac{\pi}{9}-\frac{a}{3}.
\end{aligned}
\]

Calculamos ahora el valor en el extremo inferior. Como:

\[
\cos(0)=1,
\qquad
\operatorname{sen}(0)=0,
\]

resulta:

\[
\begin{aligned}
F(0)
&=-\frac{(0-a)\cos(0)}{3}
+\frac{\operatorname{sen}(0)}{9}\\[4pt]
&=\frac{a}{3}.
\end{aligned}
\]

Restamos los dos valores:

\[
\begin{aligned}
\int_0^{\pi/3}(x-a)\operatorname{sen}(3x)\,dx
&=\left(\frac{\pi}{9}-\frac{a}{3}\right)-\frac{a}{3}\\[4pt]
&=\frac{\pi}{9}-\frac{2a}{3}.
\end{aligned}
\]

4. Cálculo del parámetro

El enunciado exige que la integral sea igual a \(\dfrac{2\pi}{9}\), por lo que:

\[
\frac{\pi}{9}-\frac{2a}{3}=\frac{2\pi}{9}.
\]

Restamos \(\dfrac{\pi}{9}\) en los dos miembros:

\[
-\frac{2a}{3}=\frac{\pi}{9}.
\]

Multiplicamos por \(9\):

\[
-6a=\pi.
\]

Finalmente, dividimos entre \(-6\):

\[
a=-\frac{\pi}{6}.
\]

Respuesta:
\[
\boxed{a=-\frac{\pi}{6}}
\]