E10 – Notas de opositores con distribución normal
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Las notas que han obtenido 1000 opositores siguen una distribución normal de media \(4\) y desviación típica \(\frac{100}{51}\).
- ¿Cuántos opositores han obtenido una calificación superior a \(5\)? (1 punto)
- Sabiendo que los opositores con nota superior a \(2\) y por debajo de \(5\) formarán la bolsa de empleo, determinar qué porcentaje de opositores ha quedado en esa situación. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Sea \(X\) la nota de un opositor:
\[
X\sim N\left(4,\frac{100}{51}\right).
\]
Para usar la tabla de la normal estándar debemos tipificar con \(Z=(X-\mu)/\sigma\).
En el primer apartado habrá que convertir una probabilidad en un número de personas multiplicando por 1000.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Distribución normal.
- Tipificación.
- Simetría de la normal estándar.
- Probabilidad en un intervalo.
La tabla proporciona \(\Phi(z)=P(Z\leq z)\), y se cumple \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\).
🟢 Estrategia de resolución
Tipificamos los valores \(5\) y \(2\). La desviación \(100/51\) está elegida para obtener \(z=0{,}51\) y \(z=-1{,}02\).
Consultamos en la tabla \(\Phi(0{,}51)\) y \(\Phi(1{,}02)\).
Finalmente calculamos la cola superior y la probabilidad comprendida entre los dos valores.
🟣 Resolución paso a paso
a) Calificación superior a 5
Tipificamos:
\[
z=\frac{5-4}{100/51}=\frac{51}{100}=0{,}51.
\]
La tabla proporciona:
\[
\Phi(0{,}51)=0{,}6950.
\]
Por tanto:
\[
P(X>5)=1-0{,}6950=0{,}3050.
\]
El número de opositores es:
\[
1000\cdot0{,}3050=\boxed{305\text{ opositores}}.
\]
b) Opositores en la bolsa de empleo
Para \(X=2\):
\[
z=\frac{2-4}{100/51}=-\frac{102}{100}=-1{,}02.
\]
La probabilidad pedida es:
\[
P(2 < X < 5 )=P(-1{,}02 < Z < 0{,}51).
\]
De la tabla:
\[
\Phi(0{,}51)=0{,}6950,\qquad \Phi(1{,}02)=0{,}8461.
\]
Por simetría:
\[
\Phi(-1{,}02)=1-0{,}8461=0{,}1539.
\]
Entonces:
Respuesta:
\[
P(2 < X < 5)=0{,}6950-0{,}1539=0{,}5411,
\]
\[
\boxed{54{,}11\%}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- La tipificación transforma cualquier normal en una normal estándar.
- Para una cola superior se calcula \(1-\Phi(z)\).
- La simetría permite obtener valores de \(\Phi(z)\) cuando \(z<0\).
- Una proporción se convierte en número de personas multiplicando por el tamaño del grupo.