5.1 – Monotonía y extremos de x/ln(x)
Madrid · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea la función:
\[
f(x)=\frac{x}{\ln(x)}.
\]
Halle el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos con sus correspondientes valores. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La presencia de \(\ln(x)\) impone dos restricciones:
- Su argumento debe ser positivo: \(x>0\).
- El denominador no puede anularse: \(\ln(x)\neq0\), es decir, \(x\neq1\).
Para estudiar la monotonía derivaremos la función y analizaremos el signo de \(f'(x)\) en cada intervalo del dominio.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio de una función logarítmica.
- Regla del cociente.
- Signo de la derivada.
- Extremos relativos.
Un punto crítico del dominio donde la derivada cambia de negativa a positiva es un mínimo relativo.
🟢 Estrategia de resolución
Primero determinamos el dominio y respetamos la separación que produce \(x=1\).
Derivamos con la regla del cociente. El denominador de \(f'(x)\) será positivo en todo el dominio, así que el signo dependerá únicamente del numerador.
Resolvemos \(f'(x)=0\), construimos la tabla de signos y evaluamos la función en el extremo.
🟣 Resolución paso a paso
1. Dominio
Debe cumplirse \(x>0\) y \(\ln(x)\neq0\). Por tanto:
\[
\boxed{D_f=(0,1)\cup(1,+\infty)}.
\]
2. Derivada y monotonía
Aplicando la regla del cociente:
\[
f'(x)=\frac{1\cdot\ln(x)-x\cdot\frac1x}{(\ln x)^2}
=\frac{\ln(x)-1}{(\ln x)^2}.
\]
En el dominio, \((\ln x)^2>0\), por lo que el signo depende de \(\ln(x)-1\).
\[
\ln(x)-1=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=e.
\]
- Si \(0
- Si \(1
- Si \(x>e\), entonces \(\ln(x)-1>0\): la función crece.
- Si \(1
Por tanto:
\[
\boxed{\text{Decrece en }(0,1)\text{ y }(1,e)}
\]
\[
\boxed{\text{Crece en }(e,+\infty)}.
\]
3. Extremos relativos
En \(x=e\), la derivada cambia de negativa a positiva, de modo que hay un mínimo relativo.
\[
f(e)=\frac{e}{\ln(e)}=e.
\]
Respuesta: la función tiene un mínimo relativo en \(\boxed{x=e}\), cuyo valor es \(\boxed{f(e)=e}\). No tiene máximos relativos.
Qué debes aprender de este problema
- El dominio debe calcularse antes de estudiar la derivada.
- Un punto excluido, como \(x=1\), separa los intervalos de monotonía.
- Si el denominador de la derivada es siempre positivo, basta estudiar el signo del numerador.
- El cambio de decrecimiento a crecimiento identifica un mínimo relativo.